(n + 1)!

1
n は任意の自然数，また，k = 1; 2; Ý; n について ak は 0 5 ak 5 k を満たす整数である．このとき，以下の問に答えよ．
(1) 数学的帰納法により，次の等式を示せ．
1 ¢ 1! + 2 ¢ 2! + Ý + n ¢ n! = (n + 1)! ¡ 1
(2) 2015 = a1 ¢ 1! + a2 ¢ 2! + Ý + an ¢ n! が成り立っているとき，n を求めよ．ただし，an Ë 0 とする．
(3) (2) の等式を成立させる a1 ; a2 ; Ý; an を求め，答のみ記入せよ．
（早稲田大学 2015 ）
2
数列 fpn g を次のように定める．
p1 = 1;
p2 = 2;
pn+2 =
p2n+1 + 1
pn
(n = 1; 2; 3; Ý)
p2n+1 + p2n + 1
(1)
が n によらないことを示せ．
pn+1 pn
(2) すべての n = 2; 3; 4; Ý に対し，pn+1 + pn¡1 を pn のみを使って表せ．
(3) 数列 fqn g を次のように定める．
q1 = 1;
q2 = 1;
qn+2 = qn+1 + qn
(n = 1; 2; 3; Ý)
すべての n = 1; 2; 3; Ý に対し，pn = q2n¡1 を示せ．
（東京大学 2015 ）
3
p は 0 でない実数とし
a1 = 1;
an+1 =
1
a ¡ (¡1)n+1
p n
(n = 1; 2; 3; Ý)
によって定まる数列 fan g がある．
(1) bn = pn an とする．bn+1 を bn ; n; p で表せ．
(2) 一般項 an を求めよ．
（北海道大学 2015 ）
4
p; q は正の実数とし，
a1 = 0;
an+1 = pan + (¡q)n+1
(n = 1; 2; 3; Ý)
によって定まる数列 fan g がある．
an
とする．数列 fbn g の一般項を p; q; n で表せ．
pn
(2) q = 1 とする．すべての自然数 n について an+1 = an となるような p の値の範囲を求めよ．
(1) bn =
（北海道大学 2015 ）
5
次の問いに答えよ．
(1) n 個の実数 a1 ; a2 ; Ý; an に対して
$
n
P
k=1
2
ak < 5 n
n
P
k=1
ak 2
が成立することを示せ．また，等号が成立するための a1 ; a2 ; Ý; an についての必要十分条件を求めよ．
1
よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，1 から 6 の目が同様に確からしく出ないことをいう．
(2) 偏りをもつサイコロを 2 回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は
6
（信州大学 2015 ）

Download Report