(3) a + b (1)

年番号
1
a; b をいずれも正の数とする．次の問いに答えよ．
(1) x を正の数とするとき，次の不等式を証明せよ．
3
次の問いに答えよ．
(1)
2013
P
k=1
ax+1 + bx+1 = abx + ax b
1
k
P
を求めよ．
j
j=1
(2) 実数 a; b を係数とする 2 次方程式 x2 + ax + b = 0 が異なる 2 つの虚数
解をもつ．1 つの虚数解を ® とすると，他の解は 2® ¡ 4 + 3i と表すことが
(2) n を自然数とするとき，次の不等式を証明せよ．
できる．このとき，a; b の値を求めよ．ただし，i は虚数単位である．
an + bn
a+b n
; 5
#
2
2
(3) 座標平面上を運動する点 P の時刻 t における座標 (x; y) が
p
(3) a + b 2 = 4 のとき，a4 + 4b4 の最小値を求めよ．
（岡山県立大学 2013 ）
2
氏名
x = cos 2t;
で表されるとき，点 P の速さは
放物線 C : y = x2 上に 2 点 A(a; a2 )，B(b; b2 ) がある．ただし，a < b
とする．放物線 C と線分 AB が囲む部分の面積を S とする．次の問いに答
えよ．
(b ¡ a)3
であることを示せ．
6
(2) 2 点 A; B を固定する．放物線 C 上の点 P(t; t2 ) に対して，放物線 C と線
(1) S =
分 AP が囲む部分の面積を S1 ，放物線 C と線分 BP が囲む部分の面積を S2
とする．a < t < b のとき，S1 + S2 の最小値を求めよ．
9
(3) 常に S =
であるように，2 点 A; B が放物線 C 上を動く．このとき，線
2
分 AB の中点の軌跡の方程式を求めよ．
（岡山県立大学 2013 ）
y = sin t
H
v=
2
#
dy
dx 2
<
; +$
dt
dt
である．次の問いに答えよ．
‘ v2 を cos t で表せ．
’ v の最大値を求めよ．
（岡山県立大学 2013 ）
4
次の定積分を求めよ．
(1)
Z
3
2
x3 + 2
dx
x¡1
(2)
Z
3
0
e
p
x
dx
(3)
Z
0
¼
6
log cos x
dx
cos2 x
（岡山県立大学 2013 ）

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