1 次の問いに答えよ． - SUUGAKU.JP

1
次の問いに答えよ．
(1)
B
n 2 + 27 が整数であるような自然数 n をすべて求めよ．
2
(2) a を実数とする．x > 0 で定義された連続関数 f(x) が，すべての x > 0 に対して
Z
x
1
数列 fan g が，a1 =
えよ．
2 ¡ an
2
; an+1 =
(n = 1; 2; 3; Ý) を満たしている．次の問いに答
3
3 ¡ 2an
(1) a2 ; a3 を求めよ．
f(t) dt = (log x)2 + a3 x ¡ 2a ¡ 4
(2) 一般項 an を推定し，それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ．
1
(3) an+1 ¡ an <
を満たす最小の n を求めよ．
5000
を満たすとき，a の値と f(x) を求めよ．
（岡山県立大学 2011 ）
（岡山県立大学 2011 ）
3
1
(x ¡ a)2 と曲線 y = ex の共有点 P(s; t) において 2 曲線の接線
4
が一致するとき，以下の問いに答えよ．
a を実数とする．曲線 y =
(1) a の値を求めよ．また，そのときの点 P における接線の方程式を求めよ．
(x ¡ a)2
(2) x = a のとき
の最大値を求めよ．
ex
（岡山県立大学 2011 ）
4
次の定積分を求めよ．
Ze
log x
dx
(1)
1 xf1 + (log x)2 g
Z¼
(2)
x2 cos nx dx (n は自然数)
0
Z1
(3)
cos m¼x cos n¼x dx (m; n は 0 以上の整数)
0
（岡山県立大学 2011 ）
5
6
次の問いに答えよ．
(1) 方程式 2x = 31¡x を解け．
(2) cos 2µ ¡ 3 cos µ + 2 = 0 を満たす µ の値を求めよ．ただし，0 5 µ < 2¼ である．
(3) x2 ¡ xy + y2 = 1 のとき，x + y のとり得る値の範囲を求めよ．
数列 fan g; fbn g が次の関係式を満たしている．
a1 = 1; b1 = 1; an+1 = an ¡ bn ; bn+1 = 2an + 4bn
(n = 1; 2; Ý)
次の問いに答えよ．
（岡山県立大学 2010 ）
(1) cn = an + bn とおく．cn を求めよ．
(2) dn = 2an + bn とおく．dn を求めよ．
(3) an と bn を求めよ．
（岡山県立大学 2010 ）
7
O を原点とする座標平面において，曲線 y = x3 上の点 P(t; t3 ) から x 軸に下ろした垂線と x
軸との交点を H とする．ただし，t > 0 である．H を通り線分 OP に垂直な直線と y 軸との交点
を Q とし，線分 HQ と線分 OP の交点を R とする．4ORQ の面積を S1 ，4HPR の面積を S2 と
する．以下の問いに答えよ．
(1) 点 Q の y 座標を求めよ．
8
次の不定積分および定積分を求めよ．
Z
¼
¼
+ x; sin #
¡ x; cos x dx
(1)
sin #
4
4
Z
2
x log(x + 1)
(2)
dx
x2 + 1
Z1
ex
(3)
dx
0 2 + 3ex + e2x
（岡山県立大学 2010 ）
(2) 点 R の x 座標を求めよ．
(3) S1 と S2 を t の式で表せ．
(4) lim S1 S2 の値を求めよ．
t!1
(5) S1 + S2 の最小値を求めよ．
（岡山県立大学 2010 ）

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