1 次の問いに答えよ. (1) B n 2 + 27 が整数であるような自然数 n をすべて求めよ. 2 (2) a を実数とする.x > 0 で定義された連続関数 f(x) が,すべての x > 0 に対して Z x 1 数列 fan g が,a1 = えよ. 2 ¡ an 2 ; an+1 = (n = 1; 2; 3; Ý) を満たしている.次の問いに答 3 3 ¡ 2an (1) a2 ; a3 を求めよ. f(t) dt = (log x)2 + a3 x ¡ 2a ¡ 4 (2) 一般項 an を推定し,それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ. 1 (3) an+1 ¡ an < を満たす最小の n を求めよ. 5000 を満たすとき,a の値と f(x) を求めよ. ( 岡山県立大学 2011 ) ( 岡山県立大学 2011 ) 3 1 (x ¡ a)2 と曲線 y = ex の共有点 P(s; t) において 2 曲線の接線 4 が一致するとき,以下の問いに答えよ. a を実数とする.曲線 y = (1) a の値を求めよ.また,そのときの点 P における接線の方程式を求めよ. (x ¡ a)2 (2) x = a のとき の最大値を求めよ. ex ( 岡山県立大学 2011 ) 4 次の定積分を求めよ. Ze log x dx (1) 1 xf1 + (log x)2 g Z¼ (2) x2 cos nx dx (n は自然数) 0 Z1 (3) cos m¼x cos n¼x dx (m; n は 0 以上の整数) 0 ( 岡山県立大学 2011 ) 5 6 次の問いに答えよ. (1) 方程式 2x = 31¡x を解け. (2) cos 2µ ¡ 3 cos µ + 2 = 0 を満たす µ の値を求めよ.ただし,0 5 µ < 2¼ である. (3) x2 ¡ xy + y2 = 1 のとき,x + y のとり得る値の範囲を求めよ. 数列 fan g; fbn g が次の関係式を満たしている. a1 = 1; b1 = 1; an+1 = an ¡ bn ; bn+1 = 2an + 4bn (n = 1; 2; Ý) 次の問いに答えよ. ( 岡山県立大学 2010 ) (1) cn = an + bn とおく.cn を求めよ. (2) dn = 2an + bn とおく.dn を求めよ. (3) an と bn を求めよ. ( 岡山県立大学 2010 ) 7 O を原点とする座標平面において,曲線 y = x3 上の点 P(t; t3 ) から x 軸に下ろした垂線と x 軸との交点を H とする.ただし,t > 0 である.H を通り線分 OP に垂直な直線と y 軸との交点 を Q とし,線分 HQ と線分 OP の交点を R とする.4ORQ の面積を S1 ,4HPR の面積を S2 と する.以下の問いに答えよ. (1) 点 Q の y 座標を求めよ. 8 次の不定積分および定積分を求めよ. Z ¼ ¼ + x; sin # ¡ x; cos x dx (1) sin # 4 4 Z 2 x log(x + 1) (2) dx x2 + 1 Z1 ex (3) dx 0 2 + 3ex + e2x ( 岡山県立大学 2010 ) (2) 点 R の x 座標を求めよ. (3) S1 と S2 を t の式で表せ. (4) lim S1 S2 の値を求めよ. t!1 (5) S1 + S2 の最小値を求めよ. ( 岡山県立大学 2010 )
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