2 整数 1 - SUUGAKU.JP

年番号
1
氏名
四角形 ABCD は円に内接し，AB = 5，BC = 6，CD = 4，DA = 5 である．次の問いに答
3
えよ．
(1) 実数 a; b; c が a + b + c = 5 かつ ab + bc + ca = 4 + abc を満たすとき，a; b; c の少なく
(1) ÎB + ÎD = 180± であることを示せ．
次の問いに答えよ．
とも一つは 1 であることを示せ．
(2) AC の長さを求めよ．
(2) x2 ¡ 4x + 1 = 0 のとき，x3 +
(3) 四角形 ABCD の面積を求めよ．
(3) 次の関数を微分せよ．
（岡山県立大学 2015 ）
y = xcos x
1
1
，x5 + 5 の値を求めよ．
x3
x
(x > 0)
（岡山県立大学 2016 ）
2
整数 1; 2; 3; 4; 5 から三つの整数を重複なく選び，それを並べて 3 桁の整数を作る．次の問い
4
に答えよ．
a; b をいずれも正の数とする．次の問いに答えよ．
(1) x を正の数とするとき，次の不等式を証明せよ．
(1) このような整数は何個あるか．
(2) このような整数をすべて足し合わせるといくらになるか．
ax+1 + bx+1 = abx + ax b
(3) このような整数のうち，2 の倍数は何個あるか．
(2) n を自然数とするとき，次の不等式を証明せよ．
(4) このような整数のうち，3 の倍数は何個あるか．
(5) このような整数を重ねて 6 桁の整数を作る．例えば，215 を重ねて 215215 とする．このように
してできた 6 桁の整数は 7 の倍数であることを示せ．
（岡山県立大学 2016 ）
#
an + bn
a+b n
; 5
2
2
p
(3) a + b 2 = 4 のとき，a4 + 4b4 の最小値を求めよ．
（岡山県立大学 2013 ）
5
8
次の問いに答えよ．
(1)
1
1
1
1
+
=
+
が成り立つとき，次の問いに答えよ．
a
c
b
a+b+c
次の問いに答えよ．
(1) 方程式 2x = 31¡x を解け．
(2) cos 2µ ¡ 3 cos µ + 2 = 0 を満たす µ の値を求めよ．ただし，0 5 µ < 2¼ である．
‘ (a + b)(b + c)(c + a) の値を求めよ．
1
1
1
1
’ 7 + 7 + 7 = 7
が成り立つことを示せ．
a
b
c
a + b7 + c7
(3) x2 ¡ xy + y2 = 1 のとき，x + y のとり得る値の範囲を求めよ．
(2) a; b; c が正の数で，a Ë 1; c Ë 1 のとき，次の等式が成り立つことを示せ．loga b =
logc b
logc a
（岡山県立大学 2010 ）
(3) 不等式 9x + 3x+1 ¡ 4 5 0 を解け．
（岡山県立大学 2012 ）
9
放物線 C : y = x2 上に 2 点 A(a; a2 )，B(b; b2 ) がある．ただし，a < b とする．放物線 C と
線分 AB が囲む部分の面積を S とする．次の問いに答えよ．
6
不等式 ( x + 1)2 + (y ¡ 1)2 5 4 の表す領域を D とする．次の問いに答えよ．
(1) 領域 D を図示せよ．
(2) 領域 D の面積を求めよ．
面積を S1 ，放物線 C と線分 BP が囲む部分の面積を S2 とする．a < t < b のとき，S1 + S2 の
(3) 点 (x; y) が領域 D 内を動くとき，2x + y の最大値と最小値を求めよ．
（岡山県立大学 2016 ）
7
(b ¡ a)3
であることを示せ．
6
(2) 2 点 A; B を固定する．放物線 C 上の点 P(t; t2 ) に対して，放物線 C と線分 AP が囲む部分の
(1) S =
最小値を求めよ．
9
であるように，2 点 A; B が放物線 C 上を動く．このとき，線分 AB の中点の軌
(3) 常に S =
2
跡の方程式を求めよ．
（岡山県立大学 2013 ）
O を原点とする座標平面において，曲線 y = x3 上の点 P(t; t3 ) から x 軸に下ろした垂線と x
軸との交点を H とする．ただし，t > 0 である．H を通り線分 OP に垂直な直線と y 軸との交点
を Q とし，線分 HQ と線分 OP の交点を R とする．4ORQ の面積を S1 ，4HPR の面積を S2 と
する．以下の問いに答えよ．
10 a を実数とし，f(x) = 2x3 ¡ 3(a2 + a)x2 + 6a3 x とおく．次の問いに答えよ．
(1) 点 Q の y 座標を求めよ．
(1) 曲線 y = f(x) 上の点 A(2a; f(2a)) における接線が，点 A とは異なる点 B において曲線
(2) 点 R の x 座標を求めよ．
y = f(x) と交わるとき，a が満たす条件を求めよ．また，そのときの点 B の x 座標を求めよ．
(3) S1 と S2 を t の式で表せ．
(2) 0 < a < 1 のとき，f(x) の極大値と極小値の差を g(a) とおく．g(a) の最大値と，そのとき
(4) lim S1 S2 の値を求めよ．
の a の値を求めよ．
t!1
(5) S1 + S2 の最小値を求めよ．
（岡山県立大学 2012 ）
（岡山県立大学 2010 ）

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