関数 f(x) - SUUGAKU.JP

年番号
1
次の空所
ア
∼
タ
氏名
(1) 関数 f(x) の不定積分は
を埋めよ．
赤玉が 5 個，青玉が 7 個，黄玉が 4 個入っている袋から，玉を同時に 3 個取り出した．
Z
1
f(t) dt =
1
t4 +
ア
イ
at3 ¡
オ
，b = ¡
t2 ¡
ウ
1
エ
bt + C （ C は積分定数）
(1) 玉の色の組み合わせはアイ通りである．
(2) 取り出した 3 つの玉がすべて同じ色である確率は
(3) 取り出した 3 つの玉がすべて別の色である確率は
ウ
エオ
カ
キ
であり，式 1，2 より a = ¡
である．
(2) y = f(x) が表す曲線 A において，x =
である．
(5) (4) のように点数をつけるとき，合計点の期待値は
ソタ
である．
キ
3
のときの接線 B を y = g(x) とおくと，関数 f(x)
2
の導関数は
(4) 赤玉を 2 点，青玉を 1 点，黄玉を 0 点とするとき，合計点が 4 点となる確率は
スセ
カ
クケ
コサシ
である．
f0 (x) =
ク
x2 ¡
ケ
x¡
コ
である．
であるので，
（松山大学 2014 ）
g(x) = ¡
サシ
ス
x¡
セソ
タ
である．
接点以外の，曲線 A と接線 B の交点は，%¡
チ
ツ
;
テ
ト
= である．
（松山大学 2014 ）
2
次の空所
ア
∼
関数 f(x) = x3 +
a=
Z
を埋めよ．
1
1
ax2 ¡ 6x ¡ b がある．ただし，
2
2
1
0
とする．
ト
f(t) dt ÝÝ1
b=
Z
1
¡1
f(t) dt ÝÝ2
3
5
次の問いに答えよ．
p
1 + 13
(1) x =
とするとき，x2 ¡ x = ア，x3 ¡ 4x + 10 = イウである．
2
(2) 不等式 x2 + 2x 5 ¡x 5 ¡x2 ¡ 2x + 2 の解はエオ 5 x 5 カである．
¡!
(1) jABj の値はアである．
¡!
¡!
¡!
(2) jAXj = jBXj = jCXj = 2 となる点 X(a; b; c) のうち，a > 0 となる点を D とする．D の座
標は
(3) m を定数とする．放物線 C : y = x2 ¡ 2mx + 9 について，
‘ 放物線 C が x 軸に接するとき，m = §
キ
である．
’ 放物線 C が x 軸と異なる 2 点で交わり，x 軸から切り取る線分の長さが 8 であるとき，
m=§
ク
空間内に 3 点 A(¡1; 1; 1)，B(1; ¡1; 1)，C(1; 1; ¡1) が与えられている．
イ
である．
(3) 4ABC の重心 G の座標はウである．
¡! ¡!
(4) DG ¢ AB の値はエである．
(5) 四面体 ABCD の体積は
である．
である．
オ
“ 放物線 C が x 軸の負の部分と異なる 2 点で交わるような定数 m の値の範囲は m < ケコ
（九州産業大学 2015 ）
である．
6
(4) 5 人が 1 回じゃんけんを行うとき，
‘ 1 人が勝ち，4 人が負ける確率は
’ 2 人が勝ち，3 人が負ける確率は
サ
シス
セソ
タチ
直線 ¡3x + y ¡ 5 = 0 を `1 ，直線 x + 3y ¡ 15 = 0 を `2 ，直線 ¡x + 2y ¡ 5 = 0 を `3 とす
る．また，直線 `1 と直線 `2 の交点を A，直線 `2 と直線 `3 の交点を B，直線 `1 と直線 `3 の交
である．
点を C とし，点 A から線分 BC へ下ろした垂線を AD とする．
(1) 点 A の座標は (
である．
“ 誰も勝たない，すなわち，あいこになる確率は
トナ
;
)，点 B の座標は (
イ
) である．
C
(2) 垂線 AD の長さは
であり，点 D の座標は (
ク
( オカ ;
ツテ
ア
である．
（九州産業大学 2015 ）
ウ
;
エ
)，点 C の座標は
キ
(3) 4ABC の面積は
である．
C
C
(4) 4ABC の内接円の半径は
シス ¡
ケ
;
コ
) である．
サ
セ
である．
（九州産業大学 2014 ）
4
3 次関数 f(x) は x = ¡1 と x = ¡5 で極値をとり，f(0) = 14，f(1) = 64 とする．
(1) f(x) =
f0 (x) =
ア
ク
7
x3 + イウ x2 + エオ x + カキであり，
し，点 Q における放物線 C の接線を ` とする．
x2 + ケコ x + サシである．
(2) f(x) の極大値はスセであり，極小値は
(3) 方程式 f(x) = 0 の異なる実数解の個数は
ソ
タ
放物線 y = x2 ¡ 4x + 3 を C とする．放物線 C と x 軸との交点を x 座標の小さい順に P，Q と
(1) 放物線 C の頂点の座標は (
である．
(2) 点 P の座標は (
個である．
(4) f0 (x) = g(x) とおく．曲線 y = g(x) と x 軸とで囲まれる図形 A の面積は
チツ
である．
エ
(3) 接線 ` の方程式は y =
ア
;
イウ ) である．
; 0)，点 Q の座標は (
カ
x¡
キ
; 0) である．
オ
である．
ク
図形 A が直線 x = a によって 2 つに分割され，左側と右側の部分の面積の比が 5 : 27 であるな
(4) 放物線 C と x 軸で囲まれた部分の面積は
らば，a の値は
(5) 直線 y = ¡2x + k が放物線 C に接するとき，k =
テト
である．
（九州産業大学 2015 ）
び放物線 C で囲まれた部分の面積は
サ
シ
ケ
である．
コ
であり，この直線と接線 `，およ
である．
（九州産業大学 2014 ）
8
点 A(3; 4)，B(8; 6) と，x 軸上を動く点 P がある．AP + BP が最小となるとき，以下の問に
答えよ．
(1) 点 A と点 P を通る直線 ` の方程式は，y = アイ x + ウエである．
(2) 点 P を頂点として，点 A を通る放物線 C の方程式は，y =
オ
x2 ¡ カキ x + クケ
である．
(3) ` と C で囲まれる図形の面積は，
コ
サ
である．
（西南学院大学 2015 ）

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