年番号 1 関数 f(x) = x3 ¡ 3x2 + x を考える．曲線 y = f(x) を C とする．以下の問に答えよ． 2 a を定数とする．2 次関数 f(x) は等式 (1) y = f(x) の増減を調べて極値を求めよ．またグラフを描け． (2) a を実数とする．直線 y = ax と C の共有点が異なる 2 点のみであるときの a の値をすべて求めよ．また，求めたそれぞれの a の値に対して，共有点の x 座標を求めよ． (3) C 上の点 P(t; f(t)) における接線を ` とする．` と C の共有点が P のみであるとき，t が満たす条件を求めよ．氏名 f(x) = 6(a + 1)x2 ¡ 12x Z 1 0 f(t) dt + 5a ¡ 2 を満たすとする．このとき，2 次関数 f(x) と 3 次関数 g(x) = ¡4x3 + f(x) について，次の問いに答えよ． Z1 f(t) dt を a を用いて表せ． (1) 定積分 0 （岐阜大学 2015 ） (2) 3 次関数 g(x) の増減を調べ，極値があればその極値を求めよ． (3) 3 次方程式 g(x) = 0 が異なる 3 つの実数解をもつとき，定数 a の値の範囲を求めよ．（静岡大学 2014 ） 3 n; m を整数とする．このとき，以下の各問に答えよ． (1) n 2 を 5 で割った余りは 0; 1 または 4 であることを証明せよ． (2) n を 5 で割った余りが 4 のとき，n 2 + n は 5 の倍数であることを証明せよ． (3) m > 1 のとき，m3 ¡ m が 6 の倍数であることを証明せよ．（釧路公立大学 2014 ） 4 点 O を原点とする座標空間上に 3 点 A(1; ¡1; 0)，B(1; 1; 4)，C(4; 3; 5) をとる．次の問いに答えよ． ¡! (1) 平面 OAB に関して点 C と対称な点を D とする．ベクトル OD を適当な実数 s; t; u を用いて ¡! ¡! ¡! ¡! OD = sOA + tOB + uOC と表したとき，s; t; u の値を求めよ． (2) 四面体 OABC の体積を求めよ． (3) 点 O と平面 ABC の距離を求めよ．（東京農工大学 2015 ）