経済数学入門 — 初歩から一歩ずつ — 第 4 回の宿題の解答練習 1 周囲の長さが 20cm である長方形がある．この長方形の面積の最大値はいくらか．また，このとき長方形はどのような形か．答え 1 長方形の縦の長さを x cm とする．横の長さ y は 2x + 2y = 20 より，y = (20 − 2x)/2 になる．よって，長方形の面積 xy = x · (20 − 2x)/2 を最大化すればよい． 20 − 2x xy = x · = 10x − x2 = −(x2 − 10x) 2 ¡ ¢ = − (x − 5)2 − 25 = −(x − 5)2 + 25 よって，x = 5 のときに面積は最大になり，その面積は 25 である．また，y = (20−2·5)/2 = 5 より，この図形は正方形である．練習 2 下記の効用関数を持っている消費者の純効用 (消費者余剰) の最大化から導かれる需要関数を求めて下さい． u(q) = − − 答え 2 q2 +q 2 (0 ≤ q ≤ 1) q2 + q − pq 2 消費者余剰を CS とすると ¢ q2 q2 1¡ + q − pq = − + (1 − p)q = − q 2 − 2(1 − p)q 2 2 2 ¢ 1 1¡ 1 2 2 = − (q − (1 − p)) − (1 − p) = − (q − (1 − p))2 + (1 − p)2 2 2 2 CS(q) = − よって，q = 1 − p のとき，CS は最大化される．よって，儒教関数は D(p) = 1 − p となる．練習 3 分数関数 y = 1 + 1 のグラフを描いてください．漸近線を求 x−2 めて下さい． 1 答え 3 下図のようになる．漸近線は，x = 2 と y = 1 である． y 1 0 2 図 1: 分数関数 y = x 1 + 1 のグラフ x−2 練習 4 1 次関数 y = x/2 + 1 の逆関数を求めて下さい．元の関数と逆関数のグラフを描いて下さい．答え 4 1 次関数 y = x/2 + 1 の式は，y − 1 = x/2，2y − 2 = x，x = 2y − 2 と変形できる．よって，その逆関数は，y = 2x − 2 となる． y 1 x 0 −2 図 2: 1 次関数 y = x/2 + 1 とその逆関数のグラフ 2