第 3 回入試で使える数学小技 ○3 次関数の極値の差(数学Ⅱ) f (x ) を極値が存在する 3 次関数とし, x = α で極大値, x = β で極小値をとる y = f (x ) とする. α , β は f ′(x ) = 0 の異なる実数解で,極値の差は f (α ) − f (β ) このとき, である. f ′(x ) = 0 は 2 次方程式であるから, 解が簡単に求められる場合は直に計算してもそれほど苦ではないが, 解の公式を用いるような値の場合, 計算が大変である. α 例えば β f ( x ) = x 3 + 2 x 2 − x + 4 の場合 f ′(x ) = 3x 2 + 4 x − 1 より x= −2− 7 −2+ 7 で極大値, x = で極小値をとるので, 極値の差は 3 3 −2− 7  − f   3   −2+ 7   を計算することになるが,これを直に計算すると f   3   相当大変である. よって, 一般的な解法は, 入試例題の正攻法のような,解と係数を利用した解法であるが, 定積分の 1 公式を利用するともっと簡単に求めることができる. 6 予備知識定積分の 1 公式 6 α 1 ∫β (x − α )(x − β )dx = − 6 (α − β ) 3 解法 f (α ) − f (β ) を積分に逆算してみると α f (α ) − f (β ) = [ f (x )]β = ∫ f ′(x )dx … ① α β となる. ここで, α と β は 2 次方程式 f ′(x ) = 0 の異なる 2 つの実数解であるから, f ′(x ) = 0 の x 2 の係数を k とすると f ′(x ) = k ( x − α )( x − β ) … ② となるので, ①,②より α f (α ) − f (β ) = ∫ k (x − α )( x − β )dx β α = k ∫ ( x − α )( x − β )dx β  1 3 = k ⋅  − (α − β )  6 k 3 = − (α − β ) … (☆) 6 これを計算すれば良いことになるのである. 先ほどの例であれば f ′(x ) = 3x 2 + 4 x − 1 α= −2− 7 −2+ 7 で極大値, β = で極小値をとるので,極値の差は 3 3 3 2 7   f (α ) − f (β ) = −  − 6 3  3 1  23 ⋅ 7 7   = − ⋅  − 2  33  = で済むのである. 28 7 27 ← (☆)に α − β = − 2 7 , k = 3 代入. 3 入試例題 a と b を実数とし, 3 次関数 f (x ) を f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx とします. f (x ) が x = α で極大値をとり, x = β で極小値をとるとします. f (α ) − f (β ) を (2) a と b の簡単な式で表してください. (2005 慶應義塾大学抜粋) [解答] f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx f ′(x ) = 3x 2 + 2ax + b f (x ) は x = α で極大値をとり, x = β で極小値をとるので, α , β は f ′(x ) = 0 の実数解で, ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) ↗ 極大 ↘ 極小 ↗ − a − a 2 − 3b − a + a 2 − 3b , β = より 3 3 α f (α ) − f (β ) = ∫ f ′(x )dx β α = ∫ 3(x − α )( x − β )dx β α = 3∫ (x − α )( x − β )dx β 2  1  2 a − 3b  = 3 ⋅  −  −  3  6   β f ′(x ) 増減表から α < β なので α= α x 3 3 1  23  = −  − 3 (a 2 − 3b )2 2 3  3 4 2 2 = (a − 3b) 27 比較のため, 一般的な解法を次ページに載せる. 正攻法 f (α ) = α 3 + aα 2 + bα f (β ) = β 3 + aβ 2 + bβ であるから f (α ) − f (β ) = (α 3 − β 3 ) + a (α 2 − β 2 ) + b(α − β ) = (α − β )(α 2 + αβ + β 2 ) + a (α − β )(α + β ) + b(α − β ) = (α − β ){(α 2 + αβ + β 2 ) + a (α + β ) + b} { } = (α − β ) (α + β ) − αβ + a (α + β ) + b … ① ここで, 2 α , β は f ′(x ) = 0 の実数解で f ′(x ) = 3x 2 + 2ax + b より, 解と係数の関係から α x 2a  α + β = − 3 … ②  αβ = b  3 β f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) ↗ 極大 ↘ 極小 ↗ − a − a 2 − 3b − a + a 2 − 3b 増減表から α < β なので α = , β = より 3 3 2 a 2 − 3b α −β =− … ③ 3 解と係数の関係を利用した解法にこだわるなら, α − β < 0 より α − β = − (α + β )2 − 4αβ = − 4a 2 4b 4a 2 − 12b 2 a 2 − 3b − = − = − 3 3 3 32 ②,③を①に代入すると f (α ) − f (β ) = − 2 a 2 − 3b 3  2a  2 b  2a    − + a ⋅  −  + b  − 3  3   3   =−  2 a 2 − 3b  4a 2 b 2a 2  − − + b  3 3 3   9 =− 2 a 2 − 3b  2a 2 − 6b    − 3 9   3 4 2 2 = (a − 3b) 27