第 3 回入試で使える数学小技 3 次関数の極値の差(数学Ⅱ)

第 3 回入試で使える数学小技
○3 次関数の極値の差(数学Ⅱ)
f (x ) を極値が存在する 3 次関数とし,
x = α で極大値, x = β で極小値をとる
y = f (x )
とする.
α , β は f ′(x ) = 0 の異な
る実数解で,極値の差は f (α ) − f (β )
このとき,
である.
f ′(x ) = 0 は 2 次方程式であるから,
解が簡単に求められる場合は直に計算し
てもそれほど苦ではないが, 解の公式を
用いるような値の場合, 計算が大変であ
る.
α
例えば
β
f ( x ) = x 3 + 2 x 2 − x + 4 の場合
f ′(x ) = 3x 2 + 4 x − 1 より
x=
−2− 7
−2+ 7
で極大値, x =
で極小値をとるので, 極値の差は
3
3
−2− 7 
−
f 

3


−2+ 7 
 を計算することになるが,これを直に計算すると
f 

3


相当大変である.
よって, 一般的な解法は, 入試例題の正攻法のような,解と係数を利用した解法
であるが, 定積分の 1 公式を利用するともっと簡単に求めることができる.
6
予備知識定積分の 1 公式
6
α
1
∫β (x − α )(x − β )dx = − 6 (α − β )
3
解法
f (α ) − f (β ) を積分に逆算してみると
α
f (α ) − f (β ) = [ f (x )]β = ∫ f ′(x )dx … ①
α
β
となる.
ここで,
α と β は 2 次方程式 f ′(x ) = 0 の異なる 2 つの実数解であるから,
f ′(x ) = 0 の x 2 の係数を k とすると
f ′(x ) = k ( x − α )( x − β ) … ②
となるので, ①,②より
α
f (α ) − f (β ) = ∫ k (x − α )( x − β )dx
β
α
= k ∫ ( x − α )( x − β )dx
β
 1
3
= k ⋅  − (α − β )
 6
k
3
= − (α − β ) … (☆)
6
これを計算すれば良いことになるのである.
先ほどの例であれば
f ′(x ) = 3x 2 + 4 x − 1
α=
−2− 7
−2+ 7
で極大値, β =
で極小値をとるので,極値の差は
3
3
3 2 7 

f (α ) − f (β ) = −  −
6
3 
3
1  23 ⋅ 7 7 

= − ⋅  −
2 
33 
=
で済むのである.
28 7
27
← (☆)に α − β = −
2 7
, k = 3 代入.
3
入試例題
a と b を実数とし, 3 次関数 f (x ) を
f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx
とします.
f (x ) が x = α で極大値をとり, x = β で極小値をとるとします. f (α ) − f (β ) を
(2)
a と b の簡単な式で表してください.
(2005 慶應義塾大学抜粋)
[解答]
f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx
f ′(x ) = 3x 2 + 2ax + b
f (x ) は x = α で極大値をとり,
x = β で極小値をとるので,
α , β は f ′(x ) = 0 の実数解で,
＋
0
－
0
＋
f (x )
↗
極大
↘
極小
↗
− a − a 2 − 3b
− a + a 2 − 3b
, β =
より
3
3
α
f (α ) − f (β ) = ∫ f ′(x )dx
β
α
= ∫ 3(x − α )( x − β )dx
β
α
= 3∫ (x − α )( x − β )dx
β
2
 1  2 a − 3b 
= 3 ⋅  −  −

3
 6 

β
f ′(x )
増減表から α < β なので
α=
α
x
3
3
1  23 
= −  − 3 (a 2 − 3b )2
2 3 
3
4 2
2
=
(a − 3b)
27
比較のため, 一般的な解法を次ページに載せる.
正攻法
f (α ) = α 3 + aα 2 + bα
f (β ) = β 3 + aβ 2 + bβ
であるから
f (α ) − f (β ) = (α 3 − β 3 ) + a (α 2 − β 2 ) + b(α − β )
= (α − β )(α 2 + αβ + β 2 ) + a (α − β )(α + β ) + b(α − β )
= (α − β ){(α 2 + αβ + β 2 ) + a (α + β ) + b}
{
}
= (α − β ) (α + β ) − αβ + a (α + β ) + b … ①
ここで,
2
α , β は f ′(x ) = 0 の実数解で
f ′(x ) = 3x 2 + 2ax + b より,
解と係数の関係から
α
x
2a

α + β = − 3
… ②

αβ = b

3
β
f ′(x )
＋
0
－
0
＋
f (x )
↗
極大
↘
極小
↗
− a − a 2 − 3b
− a + a 2 − 3b
増減表から α < β なので α =
, β =
より
3
3
2 a 2 − 3b
α −β =−
… ③
3
解と係数の関係を利用した解法にこだわるなら, α − β < 0 より
α − β = − (α + β )2 − 4αβ = −
4a 2 4b
4a 2 − 12b
2 a 2 − 3b
−
=
−
=
−
3
3
3
32
②,③を①に代入すると
f (α ) − f (β ) = −
2 a 2 − 3b
3
 2a  2 b
 2a  
 − + a ⋅  −  + b
 −
3
 3 
 3  
=−

2 a 2 − 3b  4a 2 b 2a 2

− −
+ b 
3
3
3

 9
=−
2 a 2 − 3b  2a 2 − 6b 

 −
3
9


3
4 2
2
=
(a − 3b)
27

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