∫ β a(x - α )(x - β )dx = |a| 6 (β - α )3 ∫ β a(x - α )(x

∫
|a|
(β − α)3
6
∫ βα
∫ β
a(x − α)(x − β) dx = a
(x − α)(x − α + α − β) dx
β
a(x − α)(x − β) dx =
α
α
∫ β
=a
(x − α)2 + (α − β)(x − α) dx
α
[
=a
1 (x − α)3 + 1 (α − β)(x − α)2
3
2
{
= a 1 (β − α)3 +
3
{
= a 1 (β − α)3 −
3
= − a (β − α)3
6
1 (α − β)(β − α)2
2
}
1 (β − α)3
2
y
O
]β
α
}
y
α
β
α
x
O
β
x
結果にマイナスが付いているが, 通常面積を求める場合, a > 0 なら上の左の図のようにな
り,
∫ β
{0 − a(x − α)(x − β)} dx = a (β − α)3
6
α
となる。同様に a < 0 の場合もである。
したがって, これらを一般化したのが公式である。
2 次関数 f (x) = ax2 + bx + c と一次関数 g(x) = mx + n によって囲まれる面積は, 2 つの
グラフの交点を以下の方程式で求め
ax2 + bx + c = mx + n
a(x − α)(x − β) = 0 と変形でき,
α, β(α < β)
とするとき,
∫ β
|a|
(β − α)3
a(x − α)(x − β) dx =
6
α
である。
1
数樂 http://www.mathtext.info/
とくに, こういう問題で役に立つ。
例題
1
5 と, 曲線 y = x2 − 4x + 1 で
直線 y = x −
2
2
囲まれる面積を求めなさい。
解法
求める面積 S は
y = x2 − 4x + 1
y
O
1
α
y=
7
2
β
x
}
)
5
1
2
S=
x−
− (x − 4x + 1) dx
2
2
1
∫ 7
(
)
2
=−
(x − 1) x − 7 dx
2
1
(
)3
= 1 7 −1
6 2
= 125 ……（答）
48
∫
7
2
{(
理屈は上だが, 答えだけなら, 単純に
S = 1 ( 7 − 1)3 = 125
6 2
48
で求まる。
2
数樂 http://www.mathtext.info/
1
5
x−
2
2

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