Document

数理グループの発表
担当内容と順番
１、　山上　追跡曲線２、　相河　惑星の運動３、　祐川　人工腎臓器の数学モデル４、　深沢　Lotka-‐Volterra equa.on ５、　佐藤　広告に対する売り上げ反応追跡曲線について
弘前大学　山上理矢
2015.9.3
テーマ
•  飛行機の飛ぶ方向の傾きが正の直線である
と、どうなるか。 •  飛行機の飛ぶ方向が軸に平行の場合はどう
なるか。 •  飛行物体の速度を時間によって変化させると
とどうなるか。モデルの例
y
k
(a, b)
vA
A(xA , b)
M (xm , ym )
O
vm
x
モデルの数式化
k2 + 1
((a
3
(kp + 1) cos ✓
dx2
x) cos ✓ (b y) sin ✓)) 2
dy
✓
◆2 ! 12
p k
=c 1+
kp + 1
2
vm
2
= ẋ + ẏ
2
x(0) = y(0) = 0
•  座標軸を反時計回りに回転させて考える。 y
k
=
tan
✓
とする。 Y
dX
p k
=
dY
kp + 1
2
2
2
d X
k +1
d x
=
2
dY
(kp + 1)3 cos ✓ dy 2
dx
p=
dy
X
✓
x
基本的なモデルの例
y
(a, b)
vA
A(xA , b)
M (xm , ym )
O
vm
x
モデルの数式化
ẋ(b
y) = ẏ(a + vA t
x)
2
vm
= ẋ2 + ẏ 2
x(0) = y(0) = 0
となる。この微分方程式を式変形すると
d2 x
(b
2
dy
y) = c 1 +
✓
dx
dy
◆2 ! 12
vA
,c =
vm
解は次のようになる。 ⇢
1 (b y)c+1
f bc (b
x =
2 (c + 1)f bc
1
b(f 2 + 1)c + f 2 1
K1 =
,
2
2f (1 c )
✓
◆ 12
⇣
⌘
a
a 2
f = + 1+
b
b
y)1
c
c
+ K1 ,
例：ミサイルハンティング
y
O
(a, b)
M (xm , ym )
x
モデル化された微分方程式
d2 x
(b
2
dy
1 2
gt
2
g
y) =
t 1+
vm
2
vm
= ẋ2 + ẏ 2
x(0) = y(0) = 0
✓
dx
dy
◆2 ! 12
結果
•  飛行が傾きを持った直線の場合でも、座標回
転の関係式から微分方程式を求めることがで
きる。 •  飛行機の傾き0の微分方程式と比較すると、
時間変数が登場していて、より難しい方程式
になるため解析的に解けるものは少なくなる。
今後に向けて
•  ハンティングの例で時間変数が出てきたので
時間変数が出ないような例を探し、解の曲線
を解析的または数値的に表したいと思います。

Download Report