基礎制御工学・制御システム序論期末試験問題解答 1. 配点 3 点 ×4 = 12 点． 3 G1 (s) + G2 (s) ではなく，G1 (s) · G2 (s) のときである (1) ⃝ 3 1 次遅れ要素の伝達関数は (2) ⃝ 1 1+sT ．伝達関数が 1 + sT であるのは 1 次進み要素 1 微分要素の伝達関数は s であるのでボード線図は直線になる (3) ⃝ 2 この図は持続振動なので ζ = 0 のとき．ζ = 1 は臨海減衰なので，振動せずにもっとも早く目標値 (4) ⃝ に収束する 2. (1) 開ループ、閉ループ伝達関数それぞれ 3 点ずつ。合計 6 点． Go (s) = = Gc (s) K s+5 · s2 + 2s + 2 s + 1 K(s + 5) 3 s + 32 + 4s + 2 = 1+ = s3 s+5 s+1 K(s+5) s3 +32 +4s+2 + 32 K (s + 1) + (4 + K) s + (5K + 2) (2) 配点 8 点．特性方程式は s3 + 32 + (4 + K) s + (5K + 2) = 0 なので，ラウスの安定判別法だと，すべての係数の正負が一致することは，条件に K > 0 があるので満たされている．ラウス表を作ると s3 行 1 4+K 0 s2 行 3 s 行 0 s 行つまり 5K + 2 3×(4+K)−1×(5K+2) 3 10−2K ×(5K+2) 3 1 10−2K 3 = 10−2K 3 3×0−1×0 3 0 =0 = 5K + 2 10−2K 3 > 0 であるので，K < 5．したがって 0 < K < 5 となる． 5 の ωπ と Re [G(jωπ )] を別々には採点して各 2 点．合計で 12 点．開ループ伝達関数 Go (s) は 3. (1) ⃝ Go (s) = = K (s + 1)(s + 0.5)(s + 2) K s3 + 3.5s2 + 3.5s + 1 つまり周波数伝達関数は s = jω を代入して Go (jω) = = = K −jω 3 − 3.5ω 2 + j3.5ω + 1 K 1 − 3.5ω 2 + jω (3.5 − ω 2 ) ( ) K 1 − 3.5ω 2 − jKω(3.5 − ω 2 ) 2 (1 − 3.5ω 2 ) + ω 2 (3.5 − ω 2 ) 2 求めた周波数伝達関数から，以下のようになる． (a). K = 1 を代入して考えると lim Re [G(jω)] = ω→0 (b). lim Im [G(jω)] = ω→0 0 1 1 =1 1 (c). lim Re [G(jω)] = 0 ω→∞ (d). lim Im [G(jω)] = 0 ω→∞ (e). Im [G(jωπ )] = 0 となるのは 3.5 − ωπ2 = 0 であるので ω 2 = 72 ，ωπ = 1 4 Re [G(jωπ )] = 7 7 = − 45 1− 22 √ 7 2 ．したがって (2) 配点 4 点．K = 1 の場合のナイキスト線図は次のグラフのようになるので，ω が 0 から ∞ に増えると (−1, j0) の点を左に見るので，このシステムは安定． ( ) 4K , j0 である．この点が (3) 配点 8 点．K が任意の場合，ナイキスト線図が負の実軸と交わるのは − 45 (−1, j0) より左を通ると不安定になる．つまり 4K < −1 45 45 K< = 10.25 4 − が求める条件となる．K > 0 という条件があるので， 0<K< 45 4 この問題は特に解法を指定していないので，ラウスの安定判別などで行っても構わない．特性方程式を求めるために閉ループ伝達関数を求める． Gc (s) = 1+ K 1 s+1 · s+0.5 K 1 1 s+1 · s+0.5 · s+2 K(s + 2) (s + 1)(s + 0.5)(s + 2) + K K(s + 2) = 3 7 2 7 s + 2 s + 2 s + (K + 1) = すなわち特性方程式は s3 + 27 s2 + 72 s + (K + 1) = 0．ラウス表を作ると s3 行 s2 行 1 s 行 0 s 行つまり 7 2 1 7 2 7 7 × −×(K+1) 2 2 K +1 = 7 2 10.25−K ×(K+1) 3.5 10.25−K 3.5 10.25−K 3.5 10.25−K 3.5 7 2 ×0−1×0 7 2 0 0 =0 =K +1 > 0 であるので，K < 10.25．したがって 0 < K < 10.25 となる．