演習問題7解答

基礎制御工学・制御システム序論 (7) 解答
1. フルビッツの安定判別法だと
D1
D2
= a1 = 1
a a
1
3
= a0 a2
= 1 × 1 − 1 × 3 = −2
より D2 が負であるので不安定．
2. (1) 開ループ伝達関数は
G(s) =
k
k
1
=
s(s + 1) 2s + 1
s(s + 1)(2s + 1)
k = 1 であるので
G(s) =
1
s(s + 1)(2s + 1)
実はこの伝達関数は演習問題 6 の問 1 で出題した伝達関数と同じである．したがって、ナイキスト線図
までは演習問題 6 の解答も参考にせよ．
(2) 周波数伝達関数は s = jω を代入して
G(jω) =
=
=
=
1
jω(jω + 1)(j2ω + 1)
1
−3ω 2 + jω(1 − 2ω 2 )
(
)
jω 2ω 2 − 1
−3ω 2
+
2
2
(3ω 2 ) + ω 2 (1 − 2ω 2 )
( 2
)
j 2ω − 1
−3
+
2
(4ω + 5ω + 1) ω (4ω 2 + 5ω + 1)
2
2
(3ω 2 ) + ω 2 (1 − 2ω 2 )
(3) 求めた周波数伝達関数から，以下のようになる．
−3
1 lim Re [G(jω)] =
⃝.
= −3
ω→0
1
2 lim Im [G(jω)] = −∞
⃝.
ω→0
3 lim Re [G(jω)] = 0
⃝.
ω→∞
4 lim Im [G(jω)] = 0
⃝.
ω→∞
5 Im [G(jωπ )] = 0 となるのは 2ωπ2 − 1 = 0 であるので ωπ =
⃝.
2
−3
Re [G(jωπ )] = 9 = −
3
2
√1 ．したがって
2
(4) この制御系の開ループ伝達関数は s の項があるので不安定であるが，積分要素
(極に s = 0 が複数ない場合) には簡易型のナイキスト判別法が適用できる．
1
s
が一つだけある場合
k = 1 のときのナイキスト線図は下図のようになる．したがって ω → 0 のときは (−3, −j∞)，負の実
軸と交わるのは (− 32 , j0) であり，ω → ∞ において原点に近づく．よって，(−1, j0) を左側に見るので，
安定である．
2k
(5) ゲインが k の場合，ωπ において負の実軸と交わるのは (− 2k
3 , j0) である．つまり，0 > − 3 > −1 で
あれば負の実軸を交わるときに左側に (−1, j0) を見るので安定となる．したがって，0 < k <
条件である．
ラウスの安定判別法で安定条件を求めてみよう．閉ループ伝達関数は
Go (s)
=
1+
k
s(s+1)
k
1
s(s+1) 2s+1
k(2s + 1)
s(s + 1)(2s + 1) + k
k(2s + 1)
2s3 + 3s2 + s + k
=
=
したがって特定方程式は
2s3 + 3s2 + s + k = 0
すべての係数の正負が一致することから k > 0．ラウス表を作ると
s3 行
2
1
0
s2 行
1
s 行
0
s 行
つまり
3
k
3×1−2×k
= 3−2k
3
3
3−2k
×k−3×0
3
3−2k
3
3−2k
3
3×0−2×0
3
0
=0
=k
> 0 であるので，k < 32 ．したがって 0 < k <
2
3
2
となる．
3
2
が安定

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