数学Ⅲ 積分法「定積分と和の極限」定積分 1 x2 dx を解いてみよう。 0 1 x2 dx = 0 ＝ 1 3 １ x3 ０１３ ( １－０３ ) ３１＝３関数 y = x2 のグラフと x軸および直線 x = 1 とで囲まれた面積Ｓを表している。定積分と和の極限(区分求積法） y＝f (x) y = f(x) ( f(x) ≧０) とし，区間［０，１］をｎ等分して図のような長方形の面積の和をＳｎとする。長方形の左側の辺を高さとすると 1 １つの長方形について横の長さは Δx＝縦の長さはｆよって１ｎｋｆｎｆｋｎｋｎｋｎ１ｋｆとなる面積はｎｎ 0 １ Δｘ＝ｎｋｎ Δｘ＝ 1 １ｎ部分和Ｓｎ y = f(x) とし，区間［０，１］を等分して y＝f (x) 図のような長方形の面積の和をＳｎとし， y = f(x)と x軸および直線x＝１とで囲まれた部分の面積Ｓとする。 1 Ｓｎ＝ｎｆ０１１１ｋ＋ｆ＋・・・＋ｆｎｎｎｎｎｎ－１＝ｋ＝０１ｎｆ１ｎ－１＋・・・＋ｆｎｎｋｎ 1 0 １ｋｆ面積ｎｎ今度は長方形の右側の辺で高さをとると・・・・ y＝f (x) １つの長方形について横の長さは Δx＝縦の長さはｆ１ｎｆｋｋｎｎｆｋｎよって１ｋｆ面積はｎｎとなる１１２１ｋＳｎ＝ｆ＋ｆ＋・・・＋ｆｎｎｎｎｎｎ 1 ｎ＝ｋ＝１１ｎｆｋｎ１ Δｘ＝ｎｋｎ１ｎ 0 ＋・・・＋ｆｎｎＫが１から n になった！ Δｘ＝１ｎｋｎ 1 n を限りなく大きくしたらどうなるのだろうか？予想してみよう長方形の横の長さが限りなく小さくなり，長方形の数は限りなく多くなる長方形の面積の和Ｓｎは，y＝(x)とx軸とx＝１で囲まれた面積Ｓに近づいていくのでは・・・ここをクリック n を限りなく大きくしてみよう！！ f ( x ) = x 2 のときｎ－１ lim ｎ→∞ ｋ＝０１ｋ f dx と lim ｎｎｎ→∞ ｎｋ＝１１に近づくことがわかった。限りなく３ 1 はじめに x2 0 ｋ１ f dx の値がｎｎまた，１ dx ＝となることは，計算で求めた。３とういことは・・・定積分と和の極限（まとめ）ｎ－１ 1 f (x) dx = lim 0 ｎ→∞ ｋ＝０ｎ = lim ｎ→∞ ｋ＝１１ f ｋ dx ｎ１ f ｎｋ dx ｎｎおわり