問題の解答例

応用解析・レポート問題（5 月 23 日）
問題の解答例
問題 6.1.
微分方程式 y 0 = y − x + 1 の方向の場を図示せよ。
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点 (x0 , y0 ) での解曲線への接線ベクトルの方向は (1, y 0 (x0 )) = (1, y0 − x0 + 1) により与えられる。このベクト
ルは y0 − x0 の値が一定となる点において同じ向きがる。よって、方向の場は次のようになる：
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
問題 6.2.
初期値問題
y0
=
y(0) =
y−1
2
に対し、次の問いに答えよ。
(i) 区間 (0, 1) を n 等分するオイラー法により得られる近似解 yn の具体的な形を書け。
(ii) limn→∞ yn (1) = y(1) が成り立つことを証明せよ。ただし、y(x) は上の初期値問題の真の解である。
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(i) 区間 (0, 1) を n 等分して、h = 1/n とおく。接点を xi = ih, i = 0, 1, . . . , n とする。初期条件が与える点
(x0 , y0 ) = (0, 2) からスタートして、この点での方向の場による方向 (1, y0 − 1) = (1, 1) に進む。すなわち、
yn (x) = x + 2,
x ∈ (0, h)
（これは点 (0, 2) を通り、傾斜 1 をもつ直線である。）
x = h では yn (h) = h + 2 なので、点 (x1 , y1 ) = (h, h + 2) で方向を (1, y1 − 1) = (1, h + 1) に切り替える。
yn (x) = (1 + h)x + (1 + h)(1 − h) + 1,
x ∈ (h, 2h)
点 (x2 , y2 ) = (2h, (1 + h)2 + 1) まで進み、そこで方向を (1, y2 − 1) = (1, (1 + h)2 ) に変える。
yn (x) = (1 + h)2 x + (1 + h)2 (1 − 2h) + 1,
x ∈ (2h, 3h)
点 (x3 , y3 ) = (3h, (1 + h)3 + 1) まで進み、そこで方向を (1, y3 − 1) = (1, (1 + h)3 ) に変える。
yn (x) = (1 + h)3 x + (1 + h)3 (1 − 3h) + 1,
x ∈ (3h, 4h)
数学的帰納法により近似解の一般的な形は以下のように求まる：
yn (x) = (1 + h)k x + (1 + h)k (1 − kh) + 1,
x ∈ (kh, (k + 1)h)
(ii) yn (1) = yn (nh) を計算する。そのために上の式で k = n − 1 とおく。
yn (1) = (1 + h)n−1 nh + (1 + h)n−1 (1 − (n − 1)h) + 1 = (1 + h)n + 1
この n → ∞ のときの極限は
lim yn (1) = lim (1 + h)n + 1 = lim (1 +
n→∞
n→∞
n→∞
となるので、真の解 y(x) = ex + 1 の x = 1 での値と一致する。
1 n
) +1=e+1
n

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