工業数学 B1 （2015/ 1/20 10:00 a.m. 締め切り） 4 回目レポート氏名学籍番号問 1. 1. 領域 Im z > 0 において複素関数 f (z) = (z 2 1 の極の「位置」を書け． + 1)2 2. その極の位数を書け． 3. その点における留数を求めよ． 4. 以下の積分を求めよ．（ヒント：0 < I < π ） ˆ ∞ I= −∞ dx (x2 + 1)2 解答よって，積分の値は以下の通り． 1 f (z) = (z − i)2 (z + I= (1) i)2 π 2 (6) より，z = ±i において，2 位の極をもつ．おまけ 1. 位置 z = i 被積分関数 2. 2 位の極 (x2 1 の値は下図の赤線のように + 1)2 なる． 3. z = i における留数は下記の通り計算できる． 1 d Res [f (z); i] = lim (z − i)2 f (z) z→i dz −2 1 = lim = z→i (z + i)3 4i (2) 0.8 (3) 0.6 0.4 4. 下図のように半径 R(> 1) の半円の弧のパス ΓR と 0.2 閉曲線のパス CR を考える． 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 この赤線と x 軸で囲まれた領域の面積が求めたい値である．この積分のおおよその値を知るために，青色の矩形で近似する*1 ．図から分かるように x ∼ 3 で十分小さい値になるので，−3.5 < x < 3.5 の間で計算を行えば（検算には）十分な精度が得られる．対称性を利用して計算すると，次のように 1.6 という近似値を得る． ‰ ˆ f (z)dz = CR ˆ f (z)dz + ΓR ( 1 1 × 0.5 + ×1 (1 + 02 )2 (1 + 12 )2 ) 1 1 + ×1+ ×1 (1 + 22 )2 (1 + 32 )2 ( ) 1 1 1 =2 × 0.5 + + + = 1.6 4 25 100 R f (x)dx I ∼2 × (4) −R 右辺第一項は R → ∞ で 0 になり，右辺第二項は R → ∞ で I に収束する．左辺は R の大きさによらず，留数定理より以下のように求まる． ‰ f (z)dz = 2πi Res [f (z); i] = CR *1 π 2 (7) (8) π/2 ∼ 1.57 であるので，2% 程度の誤差で近似できてい (5) ることが分かる．中点則と呼ばれます．精度は低いですが，手計算で確認するときは便利です． 1 問 2. 関数 f (t) = t2 t を Fourier 変換したい．ω > 0 として，以下の問に答えよ． +1 1. 領域 Im z < 0 において複素関数 f (z)e−iωz の極の位置を書け． 2. その点における留数を求めよ． 3. 以下を Fourier 変換の定義とするとき，関数 f (t) の Fourier 変換 fˆ(ω) を求めよ．Jordan の補題を用いる場合，積分パスを明記せよ．（ヒント：正負に注意） ˆ fˆ(ω) = ∞ f (t)e−iωt dt −∞ 解答右辺第一項は R → ∞ で 0 になり，右辺第二項は R → ∞ 1. f (z)e−iωz = −iωz で I に収束する．左辺は R の大きさによらず，留数定理 ze (z − i) (z + i) より以下のように求まる．より，z = ±i において，1 位の極をもつ． ‰ 位置 z = −i 2. [ ] f (z)dz = −2πi Res f (z)e−iωz ; −i = −ie−ω π CR (10) [ ] Res f (z)e−iωz ; −i = lim (z + i)f (z)e−iωz z→−i −ω = なお，上の式では積分パスが時計まわりであるため，−1 e を乗じている． 2 3. 下図のように半径 R(> 1) の半円の弧のパス ΓR とおまけ閉曲線のパス CR を考える．非積分関数は以下のように書ける． f (t)e−iωt = t cos t t sin t −i 2 t2 + 1 t +1 (11) 実部は奇関数になっているので，積分すると明らかに 0．虚部だけ計算する．虚部は振動しながら緩やかに減衰す ‰ f (z)e CR −iωz ˆ dz = f (z)e ΓR −iωz ˆ るため，数値的に積分するのは難しい．ただ，グラフを R dz + f (x)e −R −iωz dx 描くと少なくとも虚部の積分は負になることが予想で (9) きる． 2