演習問題3解答

2015.12.15
制御工学演習問題解答 (3)
次のようなフィードバック制御系が安定であるかをナイキスト法を使って調べたい．ただし，このフィー
ドバック制御系は演習問題 (2) の問い 2 の系と同じである．また，K > 0 である．以下の問いに答えよ．
1. K = 1 の場合の制御系の開ループ伝達関数を求めよ．
【解答】
K = 1 であるので
G(s) =
5
5
= 3
2
(s + 2)(2s + 1)(s + 1)
2s + 7s + 7s + 2
開ループ伝達関数の定義をよく復習すること．閉ループ伝達関数との混同，前向き要素しか考慮
していないなどの誤答が極めて多かった．
2. K = 1 の場合の開ループ伝達関数の周波数伝達関数を求めよ.
【解答】
s = jω を代入すると，
5
− 7ω 2 + 7ω + 2
5
=
2
(2 − 7ω ) + jω(7 − 2ω 2 )
5(2 − 7ω 2 ) − 5jω(7 − 2ω 2 )
=
(2 − 7ω 2 )2 + ω 2 (7 − 2ω 2 )2
G(jω) =
−2jω 3
どこまで展開して解答するかが曖昧な出題であったが，次の設問での ReG(s) や ImG(s) が求めや
すい段階まで展開しておくことが望ましい．
3. K = 1 の場合の次の値を求めて，ナイキスト線図を描け．
【解答】
求めた周波数伝達関数から，以下のようになる．
(1) lim Re [G(jω)] =
ω→0
5
2
(2) lim Im [G(jω)] = 0
ω→0
(3) lim Re [G(jω)] = 0
ω→∞
(4) lim Im [G(jω)] = 0
ω→∞
√
(5) Im [G(jωπ )] = 0 となるのは 7 − 2ωπ2 = 0 であるので ωπ = 72 ．したがって
5
5
2
Re [G(jωπ )] =
7 = − 45 = − 9
2−7× 2
2
これも題意が不明瞭だったが，ナイキストの安定判別法では実軸に交わる点のうち，(−1, 0)
に近い点がどこを通るかが重要であるので，ω = 0 以外の点を探す必要がある．
√
(6) Re [G(jω0 )] = 0 となるのは 2 − 7ω02 = 0 であるので ω0 = 27 ．したがって
√
5
5
7 7
Im [G(jω0 )] = √
= −√
=−
≈ −1.46
9 2
2
2 45
(7 − 2 × 2 )
7
7
7 7
4. K = 1 の場合は，この制御系は安定か不安定かを答えよ．ただし，この制御系には簡易型のナイ
キスト判別法を用いることができる．
【解答】
この制御系の開ループ伝達関数は不安定な根がないため，簡易型のナイキスト判別法が適用できる．
ω → 0 のときは ( 52 , −j0)，負の虚軸と交わるのは (0, −1.46j)，負の実軸と交わるのは (− 92 , j0) で
あり，ω → ∞ において原点に近づく．K = 1 のときのナイキスト線図は下図のようになる．よっ
て，(−1, j0) を左側に見るので，安定である．
5. このシステムが安定である K の条件（値の範囲）を求めよ．
【解答】
2K
ゲインが K の場合，limω→0 G(jω) = 5K
2 + j0，負の実軸と交わる点は G(ωπ ) = − 9 + j0 であ
2K
る．K > 0 であるので，0 > − 9 > −1 であれば負の実軸と交わるときに左側に (−1, j0) を見る
ので安定となる．したがって，0 < K < 29 が安定条件であり，演習問題 (2) と結果が一致する．

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