自然対数の底について

自然対数の底 e について
中学・高校と数学を学んでいくと「数学Ⅲ」において、
「自然対数の底」と呼ばれる新しい数を
知ることになります。それは 2.718281828459045" と永遠に続く数であり、循環小数ではないので、
分数に表せない数です。このような数のことを超越数といいますが、きっと高校生にとっては「 π 」
以来の超越数でしょう。最初、何だこの数は？と思うのも無理はありませんが、実はこの数、数
学の世界に限らず様々な場面に登場する、とてつもなく重要な定数なのです。この定数がどのよ
うにして得られるかというと、それにはいろいろな方法があります。
私の手元にある数Ⅲの教科書には lim (1 + h)
1
h
h →0
の極限値として書いてありますし、
1
それとほとんど変わらない lim (1 + ) n として書いてある教科書もあるかもしれませんし、
n →∞
n
e = 1+
∞
1
1 1 1 1
+ + + +"" = ∑
という美しく、不思議な式で表現されているものもあるかもし
1! 2! 3! 4!
k =0 k !
れません。または、指数関数 y = a x に対して、微分したときに変わらないような指数関数 y = e x と
1
h
1
1
して、定数 e を捉えることもできます。lim (1 + h) と lim (1 + ) n は h = とおけば、同じであること
n →∞
h →0
n
n
∞
1
1
がわかると思いますので、一見異なる lim (1 + ) n と ∑ が同じであることを式変形を使って説明
n →∞
n
k =0 k !
してみたいと思います。さらにこの e が 3 より小さいことを示します。この証明は大学入試でも
よく見ます。不等式の扱いについて、中学生・高校生はとても苦手です。等しいものとしての「方
程式」ばかり扱っていますし、不等号を用いて大きく評価したり、小さく評価することはなかな
か難しいことでしょう。大学の数学は「不等式の学問」と異名をとるほどです。易しくないけれ
ども、そのエッセンスを感じてもらえればと思います。
問題
1
lim (1 + ) n と
n →∞
n
∞
1
∑ k!
とが同じ値であることを説明せよ。
k =0
〔説明の前に〕
説明に入る前に、「無限級数は有限和の極限」として定義されていることを思い出そう。
1
よって、 (1 + ) n を展開することを考える。
n
〔説明〕
1
(1 + ) n を 2 項展開すると、
n
n
n
1
1
1
(1 + ) n = ∑ n Ck ⋅ 1k ⋅ ( ) n − k = ∑ n Ck ⋅ n − k
n
n
n
k =0
k =0
= n C0 ⋅
1
1
1
1
1
1
+ n C1 ⋅ n −1 + n C2 ⋅ n − 2 + "" + n Cn − 2 ⋅ 2 + n Cn −1 ⋅ + n Cn ⋅ 0
n
n
n
n
n
n
n
= n Cn ⋅
1
1
1
1
1
1
+ n Cn −1 ⋅ + n Cn − 2 ⋅ 2 + "" + n C2 ⋅ n − 2 + n C1 ⋅ n −1 + n C0 ⋅ n
0
n
n
n
n
n
n
n!
であるから、
n Ck =
k !(n − k )!
= 1+ n×
1
n!
1
n!
1
n!
1
n!
1
+
× 2 + "" +
× n−2 +
× n −1 +
× n
n (n − 2)!{n − (n − 2)}! n
2!(n − 2)! n
1!(n − 1)! n
0!n ! n
= 1+ n×
1 n(n − 1) 1
n(n − 1) ⋅ " ⋅ 4 ⋅ 3
1
n(n − 1) ⋅ " ⋅ 3 ⋅ 2
1
n! 1
+
× 2 + "" +
× n−2 +
× n −1 + × n
n
2!
(n − 2)!
(n − 1)!
n! n
n
n
n
= 1+ n×
1 1 n(n − 1) 1
+ ×
× 2 +"
n 2!
1
n
"+
= 1+1+
"+{
= 1+1+
1
n(n − 1) ⋅ " ⋅ 4 ⋅ 3
1
1
n(n − 1) ⋅ " ⋅ 3 ⋅ 2
1
n! 1
×
× n−2 +
×
× n −1 + × n
(n − 2)!
1
(n − 1)!
1
n! n
n
n
1 n −1
×
+"
2!
n
1
n −1 n − 2
3
1
n −1 n − 2
2
1 n −1 n − 2
1
×
×
×"× } + {
×
×
×"× } + { ×
×
×"× }
(n − 2)!
n
n
n
(n − 1)!
n
n
n
n!
n
n
n
1
1
1
1
2
n−3
(1 − ) + " " + {
(1 − )(1 − ) ⋅ " ⋅ (1 −
)}
2!
n
(n − 2)!
n
n
n
+{
1
1
2
n−2
1
1
2
n −1
(1 − )(1 − ) ⋅ " ⋅ (1 −
)} + { (1 − )(1 − ) ⋅ " ⋅ (1 −
)}
(n − 1)!
n
n
n
n!
n
n
n
右辺の各項の先頭に注目すると、1 +
う。 n → ∞ とすれば、
1 1 1 1
+ + + + "" の各数が現れていることに気付くでしょ
1! 2! 3! 4!
1
の後ろの因子がそれぞれ 1 になることから、見事に
n!
1
1 1 1 1
lim (1 + ) n = 1 + + + + +" であることが示されました。
n →∞
n
1! 2! 3! 4!
1
さて、 (1 + ) n は、
n
1 n +1
1
)
(1 + ) n +1
1
n +1
n
>
> (1 + ) > 1 より n に関して単調増加であり、
1
1
n
(1 + ) n
(1 + ) n
n
n
(1 +
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1
=3
lim (1 + ) n = 1 + + + + +" < 1 + 1 + + 2 + 3 + 4 +" = 1 +
n →∞
1
1! 2! 3! 4!
2 2 2 2
n
1−
2
となって、3 より小さいこと（上に有界であること）がわかります。
上の途中の不等式の変形は、すべての数字を 2 に置き換えています。そうすると、分母が小さく
なりますから、分数としては大きくなりますね。どうしてこんな変形を？と思うかもしれません
が、等比数列の和に帰着させていること、 2.718281828459045" という細かい値ではなく、 3 より
小さいことだけを示せば良いということ、これらのことから階乗をより定量し易い形に変形する
ことが戦略として現れてくるのです。

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