[ 東京工業大学 1995 年前期３ ] n を自然数とする。 (1) f ( x) = x2 + e 2 x − 1 の増減を調べ，グラフの概形をえがけ。 2 n ⎛ 1⎞ x2 1 (2) 楕円 + n 2 y 2 = 1 と曲線 y = e x の交点のうち ⎜ 0, ⎟ でない方の座標を ( xn , yn ) とおく。 2 n n ⎝ n⎠ このとき lim n →∞ (1) f ( x) = xn = −1 であることを示せ。 n x2 2x 2 + e2 x − 1 より f ´( x) = 2 + 2e 2 x ， f ´´( x) = 2 + 4e2 x である。 2 n n n f ´( x) = 0 となるのは 2x 1 + 2e 2 x = 0 より e2 x = − 2 x 2 n n 単調増加な y = e と単調減少な y = − 2x y y = e 2x 1 x の 2 つのグラフは，図のように x = α n < 0 で交わる。 n2 x > α n においては e2 x > − 1 x より f ´( x) > 0 n2 x < α n においては e2 x < − 1 x より f ´( x) < 0 n2 また，任意の x に対して f ´´( x) > 0 であるから an O x y =- y = f ( x) のグラフは下に凸。 1 x n2 y y = e 2x よって，グラフの概形は次の通り。 y= y = f0 x 1 an O x x2 -1 n2 (2) y= y 1 x e n 1 n x2 + n 2y 2 =1 2 n 0 x n, y n1 O 2 つの式を連立して x n ⎧ x2 2 2 ⎪ n2 + n y = 1 ⎪ より ⎨ ⎪ y = 1 ex ⎪⎩ n 2 ⎛1 ⎞ x2 + n2 ⎜ e x ⎟ = 1 ⇔ 2 n ⎝ n ⎠ x2 + e2 x = 1 ⇔ n2 x2 + e2 x − 1 = 0 n2 この式を満たす x のうち x ≠ 0 のものが， x = xn （ < 0 ）である。 xn 2 xn 2 x x 2 xn = 1 − e 2 xn であり n < 0 より n = − 1 − e 2 xn このとき， 2 + e − 1 = 0 ⇔ 2 n n n n ここで， n → ∞ とすると，(1)より y = − (1)で描いた y = e と y = − 2x 1 x → y = 0 となり， n2 1 x の 2 つのグラフから交点の x 座標 α n について n2 lim α n = −∞ であることがわかる。 n→∞ さらに， xn < α n < 0 であるから lim xn = −∞ となる。 n →∞ したがって lim n →∞ ( ) xn = lim − 1 − e2 xn = −1 n n→∞ （証明終）