大阪大学基礎工学部 2014 年度後期数学 C 講義ノート 8 フーリエ変換 8.1 フーリエ変換の定義周期 2L (L > 0) の関数 f = f (x) のフーリエ級数が f に収束しているとする． ∞ ∑ f (x) = cn einπx/L , n=−∞ 1 2L cn = ここで，ξn = ∫ L f (y)e−inπy/L dy. −L nπ (n + 1)π nπ ( π ) ，△ξn = − = とおくと， L L L L ( ) ∫ L ∞ ∑ 1 −iξy f (x) = △ξn f (y)e dy eiξn x 2π −L n=−∞ と書ける．ここで形式的に L → ∞ とすると， f (x) = ∞ ∑ ( △ξn n=−∞ 1 2π ∫ ) L f (y)e −iξy ∫ dy e iξn x −L → ∞ ( −∞ 1 2π ∫ ∞ f (y)e −iξy ) dy eiξx dξ. −∞ 従って，一般に周期関数でない関数 f (x) に対して，フーリエ級数展開の類似として， 1 f (x) = √ 2π ∫ ∞ −∞ ( 1 √ 2π ∫ ∞ ) f (y)e−iξy dy eiξx dξ (8.1) −∞ が成立することが期待される．そこで， 1 fˆ(ξ) = F [f ] (ξ) = √ 2π ∫ ∞ f (y)e−iξy dy −∞ と書き，f のフーリエ変換という．f (x) が R 上絶対可積分，すなわち積分は意味を持ち，fˆ(ξ) が定義される． ∫∞ −∞ |f (y)|dy < ∞ のときには上式の 8.2 フーリエ変換の例例 8.1. 関数 { 1 f (x) = 0 (−b < x < b) (それ以外) のフーリエ変換は， [ ]b 1 1 −iξx e−iξx dx = √ e 2π −iξ −b −b √ ) sin bξ 1 1 ( −ibξ 2 . =√ e − eibξ = π ξ 2π −iξ 1 fˆ(ξ) = √ 2π ∫ b 1 例 8.2. f (x) = e−ax (a > 0) のフーリエ変換を求める．そのために次の補題を示そう． 2 補題 8.3. ∫ ∞ I= e−x dx = 2 √ π. −∞ 証明. (∫ I2 = ∫ ∞ e−x dx 2 −∞ ∞ ∫ ∞ = ) (∫ ∞ e−y dy 2 ) −∞ e −(x2 +y 2 ) −∞ −∞ ∫ 2π ∫ ∞ dxdy e−r rdrdθ 0 0 ]∞ [ 1 −r2 = π. = 2π − e 2 0 2 = ∫ ∞ [ ] 2 2 1 e−ax −iξx dx F e−ax (ξ) = √ 2π −∞ ∫ ∞ (√ )2 ( )2 1 √ √ − ax+ 2iξ + 2iξ a a =√ e dx 2π −∞ ∫ ∞ (√ )2 ξ2 1 √ − ax+ 2iξ a e = √ e− 4a dx 2π −∞ ∫ ∞ ξ2 2 1 e− 4a =√ e−x dx 2πa −∞ 1 − ξ2 = √ e 4a . 2a ここで，３行目から４行目への変形には以下の事実を用いた：複素平面上で下図の積分路において関数 e−az 2 を積分したときの値は 0 となる（コーシーの積分定理）．また R → ∞ としたとき，C2 , C4 上の積分値は 0 に収束する．従って C3 上の積分値と C1 上の積分値は R → ∞ のとき一致する．すなわち， ∫ ∞ e iξ −a(x+ 2a ) ∫ 2 ∞ dx = −∞ e−y dy. 2 −∞ （下図は ξ > 0 のときの図であるが，ξ < 0 のときも同様である．） C iξ 2a C3 C2 −R C4 0 C1 2 R 8.3 逆フーリエ変換 R 上の関数 g = g(ξ) に対して， ∫ 1 F −1 [g](x) = √ 2π ∞ g(ξ)eiξx dξ −∞ を g の逆フーリエ変換という．定理 8.4. 関数 f = f (x) は R 上で有界かつ連続，絶対可積分であるとし，さらに fˆ(ξ) も R 上絶対可積分とする．このとき， [ ] F −1 [F[f ]] (x) = F F −1 [f ] (x) = f (x) が成立する．注意 8.5. この定理は，定理の仮定を満たす f に対しては 1 f (x) = √ 2π ∫ ( ∞ −∞ 1 √ 2π ∫ ∞ ) f (y)e−iξy dy eiξx dξ, −∞ すなわち最初に成立することを期待した式 (8.1) が正しいことを意味している．この定理を示すため，次の補題を準備する．補題 8.6. 関数 f, g は R 上絶対可積分とする．このとき， ∫ ∞ −∞ ∫ F[f ](ξ)g(ξ)eixξ dξ = ∞ f (x + y)F[g](y)dy. −∞ 証明. ∫ ∞ −∞ ) ∫ ∞ 1 √ f (y)e−iyξ dy g(ξ)eixξ dξ 2π −∞ −∞ ) ∫ ∞( 1 √ f (y)e−i(x−y)ξ dy g(ξ)dξ = 2π −∞ ) ∫ ∞( 1 √ f (x + y)e−iy dy g(ξ)dξ = 2π −∞ ( ) ∫ ∞ ∫ ∞ 1 f (x + y) √ g(ξ)e−iyξ dξ dy = 2π −∞ −∞ ∫ ∞ = f (x + y)F[g](y)dy. ∫ F[f ](ξ)g(ξ)eixξ dξ = ∞ ( −∞ ここで，３行目から４行目の式変形ではフビニの定理（積分順序の交換を正当化する定理）を用いた．さて，定理 8.4 を証明しよう． 2 gε (ξ) = e−ε|ξ| (ε > 0) とおくと，例 8.2 より， x2 1 F[g](ξ) = √ e− 4ε . 2ε 3 補題 8.6 より， 1 √ 2π ∫ ∞ −∞ F[f ](ξ)gε (ξ)e ixξ ∫ ∞ 1 √ f (x + y)F[gε ](y)dy 2π −∞ ∫ ∞ y2 1 1 √ f (x + y) √ e− 4ε dy 2π −∞ 2ε ∫ ∞ √ 2 √ 1 1 √ f (x + 2 εz) √ e−z 2 εdz 2π −∞ 2ε ∫ ∞ √ 2 1 √ f (x + 2 εz)e−z dz. π −∞ dξ = = = = ここで右辺は ε → 0 のとき 1 f (x) · √ π ∫ ∞ e−z dz = f (x) 2 −∞ に収束する（補題 8.2）．一方左辺は ε → 0 のとき，gε (ξ) = e−ε|ξ| → 1 より 2 1 √ 2π ∫ ∞ −∞ F[f ](ξ)eixξ dξ = F −1 [F[f ]] (x) に収束する（厳密にはルベーグの収束定理などを用いるが，詳細は省略する）．以上より F −1 [F[f ]] (x) = f (x) [ ] を得る．F F −1 [f ] (x) = f (x) についても同様である． 4