宿題 31 （ルーズリーフ等の切り離しのできる紙に解答して提出すること) 1. 四面体 OABC において, OA = OB = OC = 1 とする。6 AOB = 60◦ , −→ −→ −→ 6 BOC = 45◦ , 6 COA = 45◦ とし, ~ a = OA, ~b = OB, ~c = OC とおく。点 C から面 OAB に垂線を引き, その交点を H とする。 −→ (1) ベクトル OH を ~a と ~b を用いて表せ。 (2) CH の長さを求めよ。 (3) 四面体 OABC の体積を求めよ。 2. 原点を O とする xy 平面上に, 放物線 C : y = 1 − x2 がある。C 上に 2 点 P( p, 1 − p2 ), Q (q, 1 − q 2 ) を p < q となるようにとる。 (1) 2 つの線分 OP, OQ と放物線 C で囲まれた部分の面積 S を, p と q の式で表せ。 (2) q = p + 1 であるとき S の最小値を求めよ。 (3) pq = −1 であるとき S の最小値を求めよ。 3. n を自然数とする。 (1) x > 0 のとき, 不等式 ex > 1 + x が成り立つことを示せ。 (2) x > 0 のとき, 次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。 x x2 xn ex > 1 + + + ··· + 1! 2! n! xn (3) 極限値 lim x (n = 1, 2, 3, · · · ) を求めよ。 x→∞ e 4. 2 つの袋 A, B と赤玉, 白玉それぞれ 3 個ずつが用意されている。各々の袋の中に玉が 3 個ずつ入っている状態に対して次の操作を考える。操作：各々の袋から玉を同時に無作為に 1 個ずつ取り出した後, 袋 A から取り出した玉を袋 B の中に, 袋 B から取り出した玉を袋 A の中に入れる。いま, 袋 A の中に赤玉 2 個と白玉 1 個が, 袋 B の中に赤玉 1 個と白玉 2 個が入っている状態から始め, 上記の操作を繰り返し行う。また n を自然数とし, n 回目の操作を終えたときに袋 A の中に赤玉が 3 個入っている確率を an , 2 個だけ入っている確率を bn , 1 個だけ入っている確率を cn とする。 (1) a1 , b1 , c1 を求めよ。 (2) pn = bn + cn と定義する。pn と pn+1 の間にある関係式を求めよ。また pn を n の式で表せ。 (3) n 回目の操作を終えたときに袋 A の中に入っている赤玉の個数の期待値を En とする。En を n の式で表せ。 1 5. θ は 0 ≤ θ ≤ π を満たす実数とする。xyz 空間内の平面 z = 0 上に 2 点 Pθ (cos θ, sin θ, 0), Qθ (2 cos θ, 2 sin θ, 0) をとり, θ を 0 ≤ θ ≤ π の範囲で動かすとき, 線分 Pθ Qθ が通過する部分を D とする。空間内の z ≥ 0 の部分に 2 おいて, 底面が D, Pθ Qθ 上の各点での高さが θ の立体 K を考える。半球 π B : x2 + y 2 + z 2 ≤ 22 , z ≥ 0 と K の共通部分を L とするとき, 次の問いに答えよ。 (1) B を平面 z = t (0 ≤ t < 2) で切った切り口の円の半径を t を用いて表せ。 (2) L の体積を求めよ。 2