物理 第一編 「力と運動」 4 章：円運動と万有引力 No. ９ ③：単振り子 厳密には円運動の一部ですが、θが小さければほぼ単振動ということにしよう・・・。 θ L 物体の復元力Ｆを考えると 張力 T Ｆ＝ － mg sin θ 代入 ここで、図より sin θ = m(kg) F x L Ｆ ＝ － mg x L F は張力 T と重力ｍｇ の合力ですね。 重力ｍｇ これが定数Ｋなのだろう！ x(m) よって、ω とＴの公式より・・・ ω＝ Ｋ ｍ Ｔ＝ ２π （ mg ＝ m Ｋ g L L ＝ ｍ ＝ ２π m mg L ＝ ２π L g ゆれのリズム（周期 T) は 長さだけで決まる！ 変形すると・・・g = ４π 2 Ｌ / Ｔ 2 この式から重力加速度が求まりそうだ・・・ < 単振子 > 周期 Ｔ＝ ２π L Lg g 結果より、振り子の周期は長さだけで決まる。 問 27 単振り子の周期が 4.00 π s であるとき，単振り子の糸の長さは何 m か。 問 28 月面での重力加速度の大きさは，地球上のおよそ 6 分の 1 である。月面で単振り子を振らせたときの周期は， 重力加速度の大きさを 9.80m/s2 とする。 同じ単振り子を地球上で振らせたときの周期のおよそ何倍になるか。答えの根号はそのままでよい。 F 単振動のエネルギー ・・・バネによって単振動している小球の例で分析してみましょう この中途半端な状態を利用して、 力学的エネルギーを考えてみよう・・・ 球の運動 力学的 エネルギー E E 1 mv2 + 2 バネの位置 エネルギー 1 kx2 2 ここで、v = A ω cos ω t x = Asin ω t を代入すると・・・ 速さｖ E = ＝ エネルギー ＋ 1 1 2 2 2 mA ω cos ω t + kA2sin2 ω t 2 2 = あ、もうちょっとで sin2 θ +cos2 θ =1 が使えそう・・・ バネを使った単振動では、確か ω = k m なので、k = m ω 2 を代入すると・・・ 1 2 = 1 mA2 ω 2cos2 ω t + 2 = 1 mA2 ω 2 cos2 ω t + sin2 ω t 2 m ω 2A2sin2 ω t ( 1 mA2 ω 2 2 = ω = 2 π f を代入すると・・・ = 2 π 2mf2A2 よって、単振動中の物体の力学的エネルギーは次の式で表される。 ＜単振動のエネルギー＞ 揺れる物体のエネルギーな E = 2 π 2mf2A2 (J) で、これは波のエネルギー につながるものである このエネルギーの式の中にはｘが入っていない。ということは、エネルギーと変位ｘが 無関係だと言える。（ｍやｆ、A が変わらなければ）エネルギーは一定だと言える。 （まあ、保存力（重力）だけで運動してるので、当たり前と言えば当たり前です・・・） ） 教科書演習問題ｐ 90 4 ばね振り子 図のように，傾きの角θ のなめらかな斜面上にばね定数 k〔N/m〕の ばねの一端を固定し，他端に質量 m〔kg〕の小球をつなぐ。小球は 斜面の方向にそってのみ運動するとする。 また，重力加速度の大きさを g〔m/s2〕とする。 （1） 小球が斜面に静止しているときのばねの伸び x0〔m〕を 求めよ。 （2） ばねの伸びが x〔m〕であるとき，小球にはたらく 斜面方向の力 F〔N〕を k，x，x0 を用いて表せ。 斜面方向下向きを正とする。 （3） 小球を手で支え，ばねを自然の長さにしてから手を静かに はなすと，小球は振動を始めた。このとき， 振動の周期 T〔s〕と，小球の速さの最大値 vmax〔m/s〕を m，k，x0 を用いて表せ。円周率をπ とする。
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