問題PDF版

日制点）
数列｛ α
η｝
を
r
a1二；）
'
4
αn
9
αn+l二一一一一一一一ζ一
αn
t
,
(n=1
,2
, 3，…）
で定める．また数列｛ b，
，
｝
を
_ a1+2
α2＋・・・＋ na,
1+2十・
・十
η
(n=1
,2
, 3，…）
と定める．
(
1
) 数列｛ α
Jの一般項を求めよ．
4
(
2
) すべての nに対して，不等式 b
,
,:
:
S
: 3十一一一ーが成り立つことを示せ．
n+1
I
I -
(
3) 極限値 J
i
mη
b を求めよ．
OMl(
6
8
3 3
)
囚倒的
四面体 OABCにおいて， OA= OB= OC= BC= 1,AB= AC= xとする．
頂点 0 から平面 ABCに垂線を下ろし，平面 ABCとの交点を H とする．頂点 A
から平面 OBCに垂線を下ろし，平面 OBCとの交点を H'とする．
(
1
) OA＝α， OB=b
, OC= cとし， OH＝ρ
α ＋ qb+rc, OH'=sb+tcと
表す．このとき， p
,q
, rおよび s
, tを xの式で表せ．
(
2) 四面体 OABCの体積 Vを xの式で表せ．また， xが変化するときの Vの最
大値を求めよ．
-3-
）
く Ml(
6
8
3 5
)
囚（60点）
α ＞ 0とする．曲線 y=e d とx軸
， y軸，および直線 x＝αで固まれた図形
を
， y軸のまわりに 1回転してできる回転体を A とする．
(
1
) A の体積 Vを求めよ
(
2) 点
（t
, 0)( α豆 t豆 α）を通り x軸と垂直な平面による A の切り口の面積を
S(t)とするとき，不等式
；
イ
s
(
t）
E 山）ゐ
を示せ．
(
3）不等式
J
π（1- ea2) ~ je〆
を示せ．
-5-
）
く Ml(683 7
)
回制点）
xy平面上を運動する点 Pの時刻 t (
t >0）における座標（
x
, y）
が
x=t
2c
o
s
t
, y =t2s
i
nt
で表されている．原点を 0 とし，時刻 tにおける Pの速度ベクトルを uとす
る．
(
1
) OPと uのなす角を）
（ (t
）とするとき，極限値 l
i
m(
)(
t
）を求めよ．
(
2) vが y軸に平行になるような t (
t >0）のうち，最も小さいものを t1
，次に
小さいものをんとする．このとき，不等式 t
2- t
1＜ πを示せ．
7-
）
く Ml(
6
8
3 9
)
回（60点）
nを相異なる素数 ρ
1
, P2，…，れ（k;
;
:
;1）の積とする．。， bを nの約数とす
るとき， α，bの最大公約数を G，最小公倍数を L とし，
／
（α
かを
とする．
(
1
)
I
C
α，b）が nの約数であることを示せ．
(
2
)／
（ α，b
)=bならば， a=1であることを示せ．
(
3
) m を自然数とするとき， m の約数であるような素数の個数を S(m）とす
る. S(f（
α，b))+S（
α）
＋ S(b）が偶数であることを示せ．
-9-
＞
くMl(
6
8
3 1
1
)

Download Report