2015東京工業大学2番

2015 東工大
問題 2
四面体 OABC において、OA=OB=OC=BC= 1,AB=AC= x とする。頂点 O
から平面 ABC に垂線を下ろし、平面 ABC との交点を H とする。頂点 A から
平面 OBC に垂線を下ろし、平面 OBC との交点を H0 とする。
−→ −
→ −→ −
→ −→ −
→
−→
→ −
−
→ −
→ −−−→
→ −
−
→
(1) OA = a , OB = b , OC = c とし、OH = p a +q b +r c , OH’ = s b +t c
と表す。このとき、p, q, r および s, t を x の式で表せ。
(2) 四面体 OABC の体積 V を x の式で表せ。また、x が変化するときの V の
最大値を求めよ。
解答
O
O
1
1
0
1 H
H0
x
C
H
A
x
1
C
A
B
H
M
B
(1)
−→2 −
→2
→ −
AB = b − a より
→ −
−
→
x2 = 1 + 1 − 2 a · b
−
→ −
→ 2 − x2
∴ a · b =
2
同様に、
−
→ −
→ 2 − x2
a · c =
2
x = 1 とおいて、
−
→ −
→ 1
b · c =
2
c
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-1-
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BC の中点を M とすると、H は AM 上に、H0 は OM 上にある。そこで、
−→
−→
−−→
OH = (1 − α) OA + αOM
−
→ −
→
−
→
b + c
= (1 − α) a + α
2
とおける。
−→ −→
OH · AB = 0
より、
{
→ −
−
→} (
−
→
→ −
−
→)
b + c
(1 − α) a + α
· b − a =0
2
(
)
(
)
2 − x2
α
1 2 − x2
(1 − α)
−1 +
·2 =0
1+ −
2
2
2
2
2
2x
∴ α= 2
4x − 1
2x2 − 1
x2
∴ p=1−α= 2
,q = r = 2
4x − 1
4x − 1
−→
−−→
OH = β OM
とおける。
−−−→
−→
AH0 · OB = 0 より、
( −
)
→ −
→
→
−
b + c
β
−a · b =0
2
(
)
1 1
2 − x2
β
+
=
2 4
2
(
)
2 2 − x2
β=
3
β
2 − x2
∴ s=t= =
2
3
(2)
√
2
b+c
− a
AH0 = β
2
√
β2
=
· 3 + 1 − β (2 − x2 )
4
√
2
(2 − x2 )
= 1−
3
c
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-2-
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であるから、
√
√
2
3
(2 − x2 )
1
·
1−
3 4
3
√
1
2
=
3 − (2 − x2 )
12
√
sqrt3
これを最大にする x は x = 2 で、最大値は
である。
12
V =
H は 4ABCの外心であり、4ABC は２等辺３角形であるから、H は
AM 上の点である。
∠BAM = θ とおくと、
√
1
1
cos θ =
, sin θ = 1 − 2
2x
4x
4ABC の外接円の半径を R とおくと、正弦定理より、
1
= 2R
sin 2θ
∴ R=
4·
1
2x
1
√
· 1−
1
4x2
x2
AH : AM = √
:
4x2 − 1
= 2x2 : 4x2 − 1
=√
x2
4x2 − 1
√
x2 −
1
4
よって、
−−→
( 2
) −→
−−→
2x − 1 OA + 2x2 OM
OH =
4x2 − 1
2
→
→
→
2x − 1 −
x2 −
x2 −
= 2
a + 2
b + 2
c
4x − 1
4x − 1
4x − 1
c
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