f(x) - SUUGAKU.JP

1
a を実数とする．x の方程式
log2 (x ¡ 3) = log4 (2x ¡ a)
が異なる 2 つの実数解をもつための a の条件を求めなさい．
2
a; b; c および d は実数で，a > 0，b < 0，d Ë 0 とする．また
f(x) = ax + b;
g(x) = x2 + cx + d
p
とおく．xyz 空間内に 3 点 P0 ，P1 ，P2 があり，点 O は原点を表す．点 P0 (¡4; 0; 4 3) は定点で，P1 と
p
P2 はそれぞれ実数 t の値に応じて定まる点 P1 (¡t; f(t); 2 3)，P2 (t; g(t); 0) である．この 3 点 P0 ，
P1 ，P2 が次の 3 条件をみたしているとき，定数 a; b; c; d の値をすべて求めなさい．
¡!
¡!
¼
である．
‘ t = 0 のとき，ベクトル OP1 と OP2 のなす角は
3
p
¡!
’ ベクトル OP1 の長さの最小値は 14 である．
“ 点 O，P0 ，P1 ，P2 は，t = 1 および t = ¡3 のとき，それぞれ同一平面上にある．
3
a; b; p; q; r は実数とする．3 次方程式 x3 + px2 + qx + r = 0 の 3 つの解が
(2a + 1)2 + (a ¡ b)i; (2a + 1)2 + (a2 + b + 1)i; (2a + 1)2 + (a2 + b ¡ 1)i
p
であるとき，p; q; r の値を求めなさい．ただし，i = ¡1 である．
4
2 次関数 f(x) に対して，関数 F(x) を
F(x) =
Z
x
0
f(t) dt
と定める．方程式 F(x) = 0 は異なる 3 つの実数解をもつとする．これらの解のうち，最大の解と最小の
解の絶対値は一致する．このとき，2 次方程式 f(x) = 0 は異なる 2 つの実数解をもつことを示しなさい．
5
3x ¡ 1
x2 + 4x + 1
; g(x) =
とする．次の問いに答えよ．
x
3 +1
2(x2 + x + 1)
f(x) =
(1) g(f(x)) = f(2x + 1) が成り立つことを示せ．
(2) 数列 fan g を
a1 = 1;
an+1 = 2an + 1
(n = 1; 2; 3; Ý)
により定め，数列 fbn g を
b1 =
1
;
2
bn+1 = g(bn )
(n = 1; 2; 3; Ý)
により定める．
（ア）bn = f(an ) (n = 1; 2; 3; Ý) が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．
（イ）数列 fan g; fbn g の一般項をそれぞれ求めよ．
（ウ） lim bn を求めよ．
n!1
6
次の問いに答えよ．
(1) f(x) =
ex
とする．x > 0 の範囲で f(x) が最小になる x の値と，そのときの f(x) の値を
x2 + 3x + 1
求めよ．
1
(x > 0) と 2 つの直線 `1 : y = 2ea x，`2 : y = (a2 + 3a + 1)x を考え
x
る．C と `1 と `2 で囲まれる部分を D とする．
(2) a > 0 とする．曲線 C : y =
（ア）C と `1 の交点，および，C と `2 の交点の座標を求めよ．
（イ）(1) を用いて 2ea > a2 + 3a + 1 であることを示せ．ただし，e = 2:7182Ý であることは用いてよい．
（ウ）D の面積を a を用いて表せ．
（エ）D の面積を最小にする a の値と，そのときの D の面積を求めよ．
7
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
四面体 OABC において，OA = a ，OB = b ，OC = c とし，頂点 O から 4ABC を含む平面に下ろし
た垂線の足を H とする．また，四面体 OABC は
¡
!
¡
!
¡
!
a = b = c = 1;
ÎAOB = ÎBOC =
を満たすものとし，ÎAOC = µ #0 < µ <
¼
3
2
¼; とする．次の問いに答えよ．
3
¡! ¡!
(1) 内積 BA ¢ BC を求めよ．
(2) 4ABC の面積を求めよ．
¡!
¡
!
¡
!
¡
!
(3) OH = s a + t b + u c を満たす s; t; u を求めよ．
¡!
(4) OH を求めよ．
2
¼ のとき，四面体 OABC の体積の最大値を求めよ．
(5) 0 < µ <
3

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