1 四面体 OABCにおいて，辺 ABの中点を D

1
四面体 OABC において，辺 AB の中点を D，辺 BC を 2 : 1 に内分す
る点を E，4OCA の重心を F，4DEF の重心を G とする．そのと
¡! ¡! ¡! ¡!
き，OG を OA，OB，OC で表せ．
3
空間において，3 点 A(1; 1; 2)，B(¡1; ¡1; 0)，C(0; ¡1; ¡1)
を定める．点 P が 2 点 A，B を通る直線上の点であれば，実数 t を用
いて，
¡
!
¡!
¡!
CP = (1 ¡ t)CA + tCB
¡
!
と表される．このとき，点 P が CP の長さを最小にするとき，t の値，
点 P の座標について，
t=
2
¡
!
¡
!
2 つのベクトル a = (¡1; 1; ¡1) と b = (1; 2; 4) について次
の設問に答えよ．
¡
!
¡
! ¡
!
(1) a + t b と a が垂直となるように実数 t の値を定めよ．
¡
! ¡
!
(2) a と b の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．
ニ
である．
;
P(¡
ヌ
; ¡
ネ
;
ノ
)
4
四面体 OABC において，P を辺 OA の中点，Q を辺 OB を 2 : 1 に内
分する点，R を辺 BC の中点とする．P，Q，R を通る平面と辺 AC
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡
!
の交点を S とする．OA = a ，OB = b ，OC = c とおく．以下
の問に答えよ．
¡! ¡!
¡
! ¡
! ¡
!
(1) PQ，PR をそれぞれ a ; b ; c を用いて表せ．
¡
!
¡
!
(2) 比 AS : SC を求めよ．
¡
!
(3) 四面体 OABC を 1 辺の長さが 1 の正四面体とするとき， QS を求
めよ．
6
¡
!
¡
!
¡
!
a = (1; ¡2; 1)， b = (1; 0; 1)， c = (1; ¡1; 0) とする．ま
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
¡
!
¡
!
¡
!
た，実数 s; t; u に対して x = a + s b ， y = a + t b + u c
とする．
¡
!
(1) x の大きさが最小となるときの s の値を求めよ．
¡
! ¡
!
±
(2) a と x が 120 の角をなすときの s の値を求めよ．
¡
! ¡
!
¡
!
(3) y が a にも b にも垂直となるときの t; u の値を求めよ．
5
四面体 OABC を考える．辺 OA を 1 : 1 に内分する点を P とする．ま
た辺 OB を 2 : 1 に内分する点を Q として，辺 OC を 3 : 1 に内分す
る点を R とする．さらに三角形 ABC の重心を G とする．3 点 P，Q，
R を通る平面と線分 OG の交点を K とする．線分 OK と KG の長さ
の比を求めよ．
7
座標空間に 4 点
O(0; 0; 0);
A(s; s; s);
B(¡1; 1; 1);
C(0; 0; 1)
がある．ただし，s > 0 とする．t; u; v を実数とし，
¡
! ¡!
¡!
d = OB ¡ tOA;
¡
! ¡!
¡!
¡!
e = OC ¡ uOA ¡ vOB
とおく．次の問いに答えよ．
¡! ¡
!
(1) OA ? d のとき，t を s を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(2) OA ? d ，OA ? e ， d ? e のとき，u; v を s を用いて表せ．
(3) (2) のとき，2 点 D，E を
¡! ¡
!
OD = d ;
¡! ¡
!
OE = e
となる点とする．四面体 OADE の体積が 2 であるとき，s の値を求
めよ．

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