I = Z 1 (1) - SUUGAKU.JP

1
座標空間において O(0; 0; 0)，A(3; ¡3; 6)，B(¡1; 1; 2) とし，線分 AB を OA : OB に内分する点を
p
¡! ¡! ¡! ¡!
C とする．さらに，OA ? CD，OB ? CD，OD = 3 3 を満たす点を D とする．
¡! ¡!
(1) OC，OD を求めよ．
(2) 四面体 OABD の体積を求めよ．
（徳島大学 2015 ）
2
a > 0 とし，I =
Z
1
0
p
a x ¡ x dx とする．
p
(1) a x ¡ x = 0 を満たす x を求めよ．
(2) I を a を用いて表せ．
(3) a が a > 0 の範囲を動くとき，I の最小値を求めよ．
（徳島大学 2015 ）
3
直交座標の原点 O を極とし，x 軸の正の部分を始線とする極座標 (r; µ) を考える．この極座標で表された
3 点を A #1;
2¼
4¼
¼
;，B #2;
;，C #3;
; とする．
3
3
3
(1) 点 A の直交座標を求めよ．
(2) ÎOAB を求めよ．
(3) 4OBC の面積を求めよ．
(4) 4ABC の外接円の中心と半径を求めよ．ただし，中心は直交座標で表せ．
（徳島大学 2015 ）
4
座標空間において O(0; 0; 0)，A(3; ¡3; 6)，B(¡1; 1; 2) とし，線分 AB を OA : OB に内分する点を
p
¡! ¡! ¡! ¡!
C とする．さらに，OA ? CD，OB ? CD，OD = 3 3 を満たす点を D とする．
¡! ¡!
(1) OC，OD を求めよ．
(2) 四面体 OABD の体積を求めよ．
（徳島大学 2015 ）
5
a > 0 とし，I =
Z
1
0
p
a x ¡ x dx とする．
p
(1) a x ¡ x = 0 を満たす x を求めよ．
(2) I を a を用いて表せ．
(3) a が a > 0 の範囲を動くとき，I の最小値を求めよ．
（徳島大学 2015 ）
6
1 から 9 までの番号が書かれた球が 1 個ずつ計 9 個ある．これらの球を 3 個ずつ 3 つの箱 A，B，C に入れ
る．次のような球の入れ方は何通りか．
(1) 箱 A にある球の番号がいずれも 3 の倍数になる．
(2) 箱 A にある 3 個の球の番号を 3 で割った余りがいずれも異なる．
(3) 箱 A にある 3 個の球の番号の和が 3 の倍数になる．
(4) いずれの箱についても 3 個の球の番号の和が 3 の倍数になる．
（徳島大学 2015 ）
7
p
10
四面体 OABC において OA = 2，OB = OC = 1，BC =
，ÎAOB = ÎAOC = 60± とする．点 O
2
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
から平面 ABC に下ろした垂線を OH とする．OA = a ，OB = b ，OC = c として次の問いに答えよ．
¡
! ¡
! ¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) 内積 a ¢ b ， b ¢ c ， c ¢ a の値を求めよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(2) OH を a ， b ， c を用いて表せ．
(3) 四面体 OABC の体積を求めよ．
（徳島大学 2015 ）
Z1
a > 0 とし，I =
ax ¡ x log(x + 1) dx とする．
0
Z
(1) 不定積分 fax ¡ x log(x + 1)g dx を求めよ．
8
(2) ax ¡ x log(x + 1) = 0 を満たす x を求めよ．
(3) I を a を用いて表せ．
(4) a が a > 0 の範囲を動くとき，I を最小にする a の値を求めよ．
（徳島大学 2015 ）
9
c を実数とする．数列 fan g は次を満たす．
a1 = 1;
an+1 =
an 2 + cn ¡ 4
3n
(n = 1; 2; 3; Ý)
(1) a2 ; a3 を c を用いて表せ．
(2) a1 + a3 5 2a2 のとき，不等式 an = 3 (n = 3; 4; 5; Ý) を示せ．
(3) a1 + a3 = 2a2 のとき，極限 lim an を求めよ．
n!1
（徳島大学 2015 ）
10 1 から 10 までの番号が書かれた球が 1 個ずつ計 10 個ある．これらの球を 3 個ずつ 3 つの箱 A，B，C に入
れて，残った球の番号を a とする．次のような球の入れ方は何通りか．
(1) a = 5 であって，箱 A にある球の番号がいずれも 3 の倍数になる．
(2) a = 10 であって，箱 A にある 3 個の球の番号の和が 3 の倍数になる．
(3) いずれの箱についても 3 個の球の番号の和が 3 の倍数になる．
（徳島大学 2015 ）

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