1 座標空間において O(0; 0; 0),A(3; ¡3; 6),B(¡1; 1; 2) とし,線分 AB を OA : OB に内分する点を p ¡! ¡! ¡! ¡! C とする.さらに,OA ? CD,OB ? CD,OD = 3 3 を満たす点を D とする. ¡! ¡! (1) OC,OD を求めよ. (2) 四面体 OABD の体積を求めよ. ( 徳島大学 2015 ) 2 a > 0 とし,I = Z 1 0 p a x ¡ x dx とする. p (1) a x ¡ x = 0 を満たす x を求めよ. (2) I を a を用いて表せ. (3) a が a > 0 の範囲を動くとき,I の最小値を求めよ. ( 徳島大学 2015 ) 3 直交座標の原点 O を極とし,x 軸の正の部分を始線とする極座標 (r; µ) を考える.この極座標で表された 3 点を A #1; 2¼ 4¼ ¼ ;,B #2; ;,C #3; ; とする. 3 3 3 (1) 点 A の直交座標を求めよ. (2) ÎOAB を求めよ. (3) 4OBC の面積を求めよ. (4) 4ABC の外接円の中心と半径を求めよ.ただし,中心は直交座標で表せ. ( 徳島大学 2015 ) 4 座標空間において O(0; 0; 0),A(3; ¡3; 6),B(¡1; 1; 2) とし,線分 AB を OA : OB に内分する点を p ¡! ¡! ¡! ¡! C とする.さらに,OA ? CD,OB ? CD,OD = 3 3 を満たす点を D とする. ¡! ¡! (1) OC,OD を求めよ. (2) 四面体 OABD の体積を求めよ. ( 徳島大学 2015 ) 5 a > 0 とし,I = Z 1 0 p a x ¡ x dx とする. p (1) a x ¡ x = 0 を満たす x を求めよ. (2) I を a を用いて表せ. (3) a が a > 0 の範囲を動くとき,I の最小値を求めよ. ( 徳島大学 2015 ) 6 1 から 9 までの番号が書かれた球が 1 個ずつ計 9 個ある.これらの球を 3 個ずつ 3 つの箱 A,B,C に入れ る.次のような球の入れ方は何通りか. (1) 箱 A にある球の番号がいずれも 3 の倍数になる. (2) 箱 A にある 3 個の球の番号を 3 で割った余りがいずれも異なる. (3) 箱 A にある 3 個の球の番号の和が 3 の倍数になる. (4) いずれの箱についても 3 個の球の番号の和が 3 の倍数になる. ( 徳島大学 2015 ) 7 p 10 四面体 OABC において OA = 2,OB = OC = 1,BC = ,ÎAOB = ÎAOC = 60± とする.点 O 2 ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! から平面 ABC に下ろした垂線を OH とする.OA = a ,OB = b ,OC = c として次の問いに答えよ. ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (1) 内積 a ¢ b , b ¢ c , c ¢ a の値を求めよ. ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (2) OH を a , b , c を用いて表せ. (3) 四面体 OABC の体積を求めよ. ( 徳島大学 2015 ) Z1 a > 0 とし,I = ax ¡ x log(x + 1) dx とする. 0 Z (1) 不定積分 fax ¡ x log(x + 1)g dx を求めよ. 8 (2) ax ¡ x log(x + 1) = 0 を満たす x を求めよ. (3) I を a を用いて表せ. (4) a が a > 0 の範囲を動くとき,I を最小にする a の値を求めよ. ( 徳島大学 2015 ) 9 c を実数とする.数列 fan g は次を満たす. a1 = 1; an+1 = an 2 + cn ¡ 4 3n (n = 1; 2; 3; Ý) (1) a2 ; a3 を c を用いて表せ. (2) a1 + a3 5 2a2 のとき,不等式 an = 3 (n = 3; 4; 5; Ý) を示せ. (3) a1 + a3 = 2a2 のとき,極限 lim an を求めよ. n!1 ( 徳島大学 2015 ) 10 1 から 10 までの番号が書かれた球が 1 個ずつ計 10 個ある.これらの球を 3 個ずつ 3 つの箱 A,B,C に入 れて,残った球の番号を a とする.次のような球の入れ方は何通りか. (1) a = 5 であって,箱 A にある球の番号がいずれも 3 の倍数になる. (2) a = 10 であって,箱 A にある 3 個の球の番号の和が 3 の倍数になる. (3) いずれの箱についても 3 個の球の番号の和が 3 の倍数になる. ( 徳島大学 2015 )
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