対応 u1 ↦→ Σ1(t1,t2,... ,tn), u2 ↦→ Σ2(t1

講義資料 14/09/23
対称式の基本定理. A を可換環とし，対応
u1 7→ Σ1 (t1 , t2 , . . . , tn ), u2 7→ Σ2 (t1 , t2 , . . . , tn ), . . . , un 7→ Σn (t1 , t2 , . . . , tn )
によって環の準同型 Ψ : A[u1 , u2 , . . . , un ] → A[t1 , t2 , . . . , tn ] を定義する．このとき，Ψ は単射で，Im Ψ =
A[t1 , t2 , . . . , tn ]Sn ．
証明．対応 (i1 , i2 , . . . , in ) 7→ (i1 + i2 + · · · + in , i2 + · · · + in , . . . , in ) によって全単射
∼
Nn −→ {(j1 , j2 , . . . , jn ) ; j1 ≥ j2 ≥ . . . ≥ jn } ⊂ Nn
が定義される．したがって，Σi11 Σi22 · · · Σinn が tj11 tj22 · · · tjnn (j1 ≥ j2 ≥ . . . ≥ jn ) を辞書式順序に関して最高
次の項として持つ ⇔ j1 = i1 + i2 + . . . + in , j2 = i2 + . . . + in , . . . , jn = in ．これから，Ψ は単射．
次に，Im Ψ = A[t1 , t2 , . . . , tn ]Sn を辞書式順序による次数に関する帰納法によって示す．
f (t1 , t2 , . . . , tn ) ∈ A[t1 , t2 , . . . , tn ]Sn とし，atj11 tj22 · · · tjnn を f (t1 , t2 , . . . , tn ) の最高次の項とすれば，任
1
2
n
意の σ ∈ Sn に対して atjσ(1)
tjσ(2)
· · · tjσ(n)
は f (t1 , t2 , . . . , tn ) に含まれる．したがって，j1 ≥ j2 ≥ . . . ≥ jn ．
n−1
ここで，aΣj11 −j2 Σj22 −j3 · · · Σn−1
j
−jn
Σjnn の最高次の項は atj11 tj22 · · · tjnn で与えられる．したがって，帰納法
の仮定から
n−1
f (t1 , t2 , . . . , tn ) − aΣj11 −j2 Σj22 −j3 · · · Σn−1
j
−jn
Σjnn ∈ A[Σ1 , Σ2 , . . . , Σn ]
これから
f (t1 , t2 , . . . , tn ) ∈ A[Σ1 , Σ2 , . . . , Σn ]
を得る．
例．A = α + ωβ + ω 2 γ, B = α + ω 2 β + ωγ とおく．このとき，
(α β) : A 7→ ω 2 B, B 7→ ωA,
(α γ) : A 7→ ωB, B 7→ ω 2 A,
(β γ) : A 7→ B, B 7→ A,
(α β γ) : A 7→ ω 2 A, B 7→ ωB,
(α γ β) : A 7→ ωA, B 7→ ω 2 B
したがって，A3 + B 3 , AB は α, β, γ の対称式．さらに，
AB = Σ21 − 3Σ2 , A3 + B 3 = 2Σ31 − 9Σ1 Σ2 + 27Σ3
例．A = α − β − γ + δ, B = α − β + γ − δ, C = α + β − γ − δ とおく．このとき，
(α β) : A 7→ A, B 7→ −C, C 7→ −B,
(α γ) : A 7→ −C, B 7→ B, C 7→ −B,
(α δ) : A 7→ −B, B 7→ −A, C 7→ C,
(β γ) : A 7→ B, B 7→ A, C 7→ C,
(β δ) : A 7→ C, B 7→ B, C 7→ A,
(γ δ) : A 7→ A, B 7→ C, C 7→ B
1
したがって，A2 + B 2 + C 2 , A2 B 2 + B 2 C 2 + C 2 A2 , ABC は α, β, γ, δ の対称式．さらに，
ABC = Σ31 − 4Σ1 Σ2 + 8Σ3 ,
A2 B 2 + B 2 C 2 + C 2 A2 = 3Σ41 − 16Σ21 Σ2 + 16Σ22 + 16Σ1 Σ3 − 64Σ4 ,
A2 + B 2 + C 2 = 3Σ21 − 8Σ2
2

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