演習第2回

解析学 I
第2回
（担当：日野）
[2-1] X = {a, b, c} とする．このとき X 上の σ 加法族をすべて挙げよ．
[2-2] F が集合 X 上の σ 加法族であることと，次の 4 条件が成り立つことは同値であることを示せ．
(i) ∅ ∈ F,
(ii) E ∈ F ならば E c ∈ F,
(iii) E1 , E2 ∈ F ならば E1 ∩ E2 ∈ F,
(iv)
{Ej }∞
j=1
∞
⊔
⊂ F が互いに素ならば，
Ej ∈ F.
j=1
[2-3] X を空でない集合とし，M = {A ⊂ X | A または Ac は高々可算集合 } とする．
(1) M は σ 加法族であることを示せ．
(2) M0 = {A ⊂ X | A または Ac は有限集合 } とするとき，σ(M0 ) = M であることを示せ．
[2-4] X を空でない高々可算集合，M = 2X ，µ を (X, M) 上の測度とする．X 上の [0, +∞]-値関数 φ
が存在して
µ(A) =
∑
φ(x)
(A ⊂ X)
x∈A
と表されることを示せ．
{(
[2-5] 集合 I = (0, 1] の部分集合族 Gn =
An = σ( Gn ), A =
∞
∪
]
}
j − 1 j n
,
j ∈ {1, 2, . . . , 2 } (n ∈ N) に対して，
2n 2n An とおく．
n=1
(1) A は有限加法族であることを示せ．
(2) B を，A を含む σ 加法族とする．B はすべての 1 点集合を含む（すなわち，任意の x ∈ I に
対して {x} ∈ B）ことを示せ．
(3) A は σ 加法族ではないことを示せ．
[2-6]∗∗∗ （時間が余って退屈な人向け）X = C([0, 1] → R)（区間 [0, 1] 上の実数値連続関数の全体）と
する．
{w ∈ X | (w(t1 ), . . . , w(tn )) ∈ A} (n ∈ N, 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn ≤ 1, A ∈ B(Rn ))
の形の集合を筒集合といい，これらの全体を C とおく．このとき σ( C) = B(X) であることを示
せ．ただしここで B(X) は X の一様位相に関する Borel σ 加法族を表す．
以上

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