学術フロンティア講義レポート課題（平成 27 年度・S1 & S2） 2015 年 5 月 21 日，寒野数理工学のすすめ —構造物の設計のための最適化— 以下の二問のうち，一問を選んで解答しなさい．問 1 図 1 に示すような，二つのバネからなる構造物を考える．バネの強さは断面積 a1 , a2 に比例するものとし，a1 および a2 を適切に定める問題を考える．節点 (a) に作用する力を p とおき，釣合状態における節点 (a) の変位を u とおく．p および u は，図 1 に示すように，ともに 2 次元ベクトルである．バネ 1 およびバネ 2 の長さを l および l/2 とおく．行列 K1 および K2 を [ √ ] 3/4 Ea1 3/4 K1 = , √ l 3/4 1/4 [ ] 2Ea2 0 0 K2 = l 0 1 (1) で定義すると，u と p の関係は (K1 + K2 )u = p (2) と書けることが知られている．以下では，簡単のため E/l = 1[とおく（ E はヤング率と呼ばれ ] 1 が作用するものとする．る材料定数である）．また，節点 (a) には水平方向の外力 p = 0 1) (1) と (2) より，釣合状態における変位は [ u= u1 ] u2 [ = 4 3a1 + 1 6a2 − 2√13a ] 2 で与えられることを示せ． u 2 , p2 (a) u1, p1 ࣂࢿ1 a 1 ,l ࣂࢿ2 ኚᙧ≧ែ a 2 ,l/2 30度図 1: 2 つのバネからなる構造物 1 2) 変位に関する制約 u1 ≤ u, (3) u2 ≥ −u (4) の下で，二つのバネの体積の和を最小にするような設計を考える．この設計問題を最適化問題として定式化するときの目的関数と制約を示せ．ただし，u > 0 および u > 0 は与えられた定数とする． 3) 制約 (3) および (4) が満たされる領域を a1 -a2 平面上で図示せよ． 4) 3) の図の中に目的関数の等高線を図示することにより，2) の最適化問題の最適解がどのように得られるかを示せ．問 2 身近な構造物を一つ取り上げ，それがどのような力学的条件と目的に従って設計されているか（あるいは，されるべきか）を考察せよ． 1) 構造物に作用するであろう力について，その向き・大きさと特徴（静的な力／衝撃力／周期的な力／摩擦力／熱応力／慣性力など）を説明せよ． 2) 1) で示した力によって構造物に生じる変形の様子を図示せよ．その変形が適切な範囲におさまるためにどのような工夫がなされているか，どのような工夫をすればより良い構造物となり得るか，について考察せよ．以上 2