集合と位相第二中間試験

集合と位相第二中間試験
提出期限: 12 月 13 日 (水) 午後６時
提出先: レポートボックス 3-4
1. 次の (1)-(i),(ii) と (2) の設問に答えよ. [(1)-(i),(ii), (2) 各 5 点]
(1) X = {1, 2, 3} とする. U1 を X の密着位相とし, U4 を X の離散位相とする. 次の条件を
全て満たす X の位相 U2 , U3 の例を求めたい.
(A) U2 6= U1 かつ U2 は U1 より強い.
(B) U3 6= U2 かつ U3 は U2 より強い.
(C) U4 6= U3 かつ U4 は U3 より強い.
(i) 上の条件を全て満たす X の位相 U2 , U3 の例を一つ挙げよ.
(ii) (i) で挙げた位相 U2 , U3 それぞれが X の位相を定めることを示せ.
(2) X = {1, 2, 3, 4, 5}, U = {∅, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, X} とする. 位相空間 (X, U) は T3 空間
か ? 答えは T3 空間である (あるいは T3 空間でない) だけでなく, T3 空間である (あるいは
T3 空間でない) ことを示せ.
2. (X1 , U1 ), (X2 , U2 ) をそれぞれ位相空間とする. 次の (i), (ii) は同値であることを示せ. [ 5
点]
(i) 写像 f : X1 → X2 は開写像である.
(ii) 開集合系 U1 の基 U について, U ∈ U ならば f (U ) ∈ U2 .
3. 次の (1), (2) の設問に答えよ. [(1),(2) 各 5 点]
(1) X を空でない集合とし, (Y, UY ) を位相空間とする. 写像 f : X → Y に対して
UX = {f −1 (U ) | U ∈ UY }
とおく. このとき UX は X 上に位相を定めることを示せ.
(2) Y を空でない集合とし, (X, UX ) を位相空間とする. 写像 f : X → Y に対して
UY = {U ⊂ Y | f −1 (U ) ∈ UX }
とおく. このとき UY は Y 上に位相を定めることを示せ.
4. 次の (1),(2) の設問に答えよ. [(1),(2) 各 5 点]
自然数 j について sj ∈ {0, 1} とし, 0 と 1 からなる片側無限列 s = (s1 s2 · · ·) について考え
る. このような s 全体の集合を Σ2 とおく:
Σ2 = {s = (s1 s2 · · ·) | sj ∈ {0, 1}}.
1
Σ2 × Σ2 から実数全体の集合 R への関数 d を次で与える. s = (sj )j≥1 , t = (tj )j≥1 ∈ Σ2 に
ついて
∞
X
|si − ti |
d(s, t) =
.
2i
i=1
(1) d は Σ2 上の距離関数であることを示せ.
(2) s = (sj )j≥1 = (s1 s2 s3 · · ·) ∈ Σ2 が繰り返し列とは, ある自然数 n が存在して,
s = (s1 · · · sn s1 · · · sn · · ·)
と表せることとする. 即ち s = (sj )j≥1 が繰り返し列とは, 任意の自然数 k について
s1 · · · sn = skn+1 · · · s(k+1)n
が成立することとする. 例えば, s = (000 · · ·), t = (010101 · · ·) などは繰り返し列である. 繰
り返し列全体の集合を A とする. このとき A は Σ2 で稠密であることを示せ. ただし Σ2 に
は距離関数 d が定める位相を入れる.
2

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