講義資料 14/11/17 定義１．k を体，K, K ′ を k の拡大体とし，φ : K → K ′ を体の準同型とする．任意の a ∈ k に対して φ(a) = a となるとき，φ は体の k 準同型であるという．さらに，φ が体の同型であるとき，φ は体の k 同型であるという．特に，K = K ′ のとき，φ は体 K の k 自己同型であるという．例２．複素共役は体 C の R 自己同型． √ √ √ √ √ 例３．対応 a + b 2 7→ a − b 2 (a, b ∈ Q) によって定義される写像 φ : Q( 2) → Q( 2) は体 Q( 2) の Q 自己同型．命題４．K/k を体の拡大，φ を K の k 自己同型とし，f (t) ∈ k[t]，α ∈ K とする．このとき，f (α) = 0 なら f (φ(α)) = 0．証明．f (t) = a0 + a1 t + · · · + an−1 tn−1 + an tn (a0 , a1 , . . . , an−1 , an ∈ k) とおく．このとき，φ が体の k 自己同型なので， φ(a0 + a1 α + · · · + an−1 αn−1 + an αn ) = a0 + a1 φ(α) + · · · + an−1 φ(α)n−1 + an φ(α)n したがって，f (φ(α)) = φ(f (α)) = 0．系５．K/k を体の拡大，φ を K の k 自己同型とし，α を k の上に代数的な K の元とする．このとき，α, φ(α) の k の上の最小多項式は一致する．証明．p(t), q(t) をそれぞれ α, φ(α) の k の上の最小多項式とする．このとき，p(φ(α)) = 0 なので，q(t) は p(t) で割り切れる．さらに，p(t) は k[t] において既約なので，q(t) = p(t)．定義６．K/k を体の拡大，α, β を k の上に代数的な K の元とする．α, β の k の上の最小多項式が一致するとき，α, β は k の上に共役であるという．例７．K/k を体の拡大，φ を K の k 自己同型とし，α を k の上に代数的な K の元とする．このとき，系５から α, φ(α) は k の上に共役．命題８．K/k を体の拡大，α, β を k の上に代数的な K の元とする．α, β が k の上に共役なら，φ(α) = β ∼ となるような k 同型 φ : k(α) → k(β) が存在する． ∼ 証明．p(t) ∈ k[t] を α の最小多項式とすれば，対応 f (t) 7→ f (α) は体の k 自己同型 φ1 : k[t]/(p(t)) → k(α) を ∼ 誘導する．一方，p(t) は β の最小多項式でもあるので，対応 f (t) 7→ f (β) は体の k 自己同型 φ2 : k[t]/(p(t)) → ∼ k(β) を誘導する．φ = φ2 ◦ φ−1 1 とおけば，φ : k(α) → k(β) は体の k 自己同型で φ(α) = β ． √ √ √ √ √ √ 例９．対応 a+b 3 2+c 3 4 7→ a+b 3 2ω+c 3 4ω 2 (a, b, c ∈ Q) によって定義される写像 φ : Q( 3 2) → Q( 3 2ω) は体の Q 同型．