幾何学 B（担当：酒井）２０１４年１２月１日演習問題 20. 球面 S n := {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 | ∑n+1 i=1 (xi )2 = 1} (1) Ui+ = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ S n | xi > 0} Ui− = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ S n | xi < 0} + n 1 i n+1 φ+ ) −→ (x1 , . . . , xi , . . . , xn+1 ) i : Ui −→ R ; (x , . . . , x , . . . , x − n 1 i n+1 φ− ) −→ (x1 , . . . , xi , . . . , xn+1 ) i : Ui −→ R ; (x , . . . , x , . . . , x (i = 1, 2, . . . , n + 1) とする．ただし，xi は xi を除くことを表す．このとき，{(Ui± , φ± i ) | i = 1, 2, . . . , n + 1} n n は S の局所座標系になり，S に可微分多様体の構造を定めることを示せ． (2) N := (0, . . . , 0, 1) ∈ S n , S := (0, . . . , 0, −1) ∈ S n として， U := S n − {N }, V := S n − {S} ( ) x1 xn n 1 n+1 φ : U −→ R ; (x , . . . , x ) −→ ,..., 1 − xn+1 1 − xn+1 ( ) x1 xn n 1 n+1 ψ : V −→ R ; (x , . . . , x ) −→ ,..., 1 + xn+1 1 + xn+1 とする．このとき，{(U, φ), (V, ψ)} は S n の局所座標系になり，S n に可微分多様体の構造を定めることを示せ． (3) (1) と (2) で定められた S n の可微分多様体の構造は同値であることを示せ． 21. 2 次元球面 S 2 := {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 = 1} ⊂ R3 において，x ∈ S 2 における接ベクトル空間 Tx S 2 を Rx の直交補空間 x⊥ := {v ∈ R3 | ⟨x, v⟩ = 0} と同一視する． S 2 上の 2 次微分形式 ω を次で与える． ωx (u, v) := ⟨x, u × v⟩ (u, v ∈ Tx S 2 ∼ = x⊥ ) ここで，⟨ , ⟩ は R3 の標準内積を表し，× は R3 のベクトルの外積を表すものとする． (1) 20 の (1) で与えた局所座標系を使って ω の局所表示を与えよ． (2) 20 の (2) で与えた局所座標系を使って ω の局所表示を与えよ．