2015 京大理系
問題 5
a, b, c, d を正の実数として整式
f (x) = ax2 + bx + c
g (x) = dx + e
を考える。すべて正の整数 n に対して、
f (n)
は整数である。このとき、f (x)
g(n)
は g(x) で割り切れることを示せ。
解答
f (x) = g (x) (px + q) + r
とおく。このとき、
f (n)
r
= pn + q +
g (n)
g (n)
\ 0 として矛盾を導く。
が任意の正の整数に対して整数であるとき、r = 0 を示す。r =
{
}
r
r
p (n + 1) + q +
− pn + q +
g (n + 1)
g (n)
r
r
=p+
−
g (n + 1) g (n)
も任意の正の整数に対して整数である。いま、p の最も近い整数を M とおき、|p−M | =
d とおくと、0 5 d 5 0.5 である。
r
r
d+
−
g (n + 1) g (n)
も任意の正の整数に対して整数である。g(n) は単調増加の数列であるから、十分大き
い n をとれば、
−0.5 <
r
r
−
<0
g (n + 1) g (n)
が成り立つ。したがって、
r r
d +
−
<1
g (n + 1) g (n) これは矛盾。よって、r = 0
したがって、f (x) は g(x) で割り切れる
c
Darumafactory
-1-
RadicalMath
© Copyright 2024 ExpyDoc
