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第2回
JFMO
注意事項
解答用紙には解答だけを記入せよ．解答が分数になる場合，既約分数
(約分しきった形) にし，平方根の中はできるだけ小さい数にせよ．
問題
第 1 問から第 4 問は答えのみを記入しなさい．
1．2 2
10
10
の十の位を求めよ．ただし， 2 2 は 2 の 210 乗のことである．
2．一辺の長さが
1 の正方形のタイルが下図のように正方形状に並べられてい
る．そして，各タイルの頂点を格子点と呼ぶ．すると，この正方形全体の中に
ある 2 つの格子点を結んだ線分であって，長さが 3 より小さいものが 4218 本存
在するという．このとき，この正方形全体の中にある 2 つの格子点を結んだ線
分であって，長さが 2 より大きく，3 より小さいものはいくつあるか．
3．∠A =60°,
∠B =100°, ∠C =20°の△ABC の内心を I ，外心を O とす
る．∠IOC の大きさを求めよ．
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4．下図のように，16 個の正三角形からなる三角錐がある．この立体について，
各正三角形を青，黒，茶のいずれかの色で塗る．しかし，隣り合う面には異な
る色を塗らなければならない．また，使わない色があってもよい．そのような
塗り方は何通りあるか．ただし，回転して一致するものは異なるものとする．
第 5 問から第 8 問は途中の考え方も記入しなさい．
5．p , q p  q 
は素数，k は正の整数で，次の条件を満たす．


k
p  q と p  q はどちらも 2k 22k 1 1 の約数
このとき，q としてありうる値をすべて求めよ．もしこのような p , q , k が存
在しない場合はそれを証明せよ．
6．△ABC の内部に点 D があり，次を満たす．
∠A =45°, ∠DCA =∠DCB =15°, AB =CD
このとき，∠DBC の大きさを求めよ．
7．x , y は整数で次を満たす．
x 6  y 5  x 4  y 3  x 2  y  20152016
このとき，x , y  をすべて求めよ．もしこのような x , y  が存在しない場合はそれ
を証明せよ．
2
8．下図において，AC =AD , BA =BD ,
∠BAC =30°, ∠BCA =∠BDA +30°
を満たす．このとき CB =CD を証明せよ．ただし，図は正確とは限らない．
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