　灘進学教室　０６（６８５５）３３５４０７９７（８４）９３６０携帯・ＰＣ　http://nadasingaku.com 東大　８４年 k ２以上の自然数 (1)　n 次多項式 g (x) が ( x - 1) 2 g ( x) = n å a k f k ( x) k =2 (2)　に対して　f k ( x) = x k - k x + k - 1 とおく。　このとき、次のことを証明せよ。で割り切れるためには、 g (x) が定数 a 2 , .... , a n の形に表されることが必要十分である。 n 次多項式 g (x) が ( x - 1)3 で割り切れるためには、 k (k - 1) ak = 0 2 n å g (x) が関係式 k =2 定数を用いて、 g ( x) = a 2 , .... , a n を用いて、 n å k =2 a k f k ( x) を満たすの形に表されることが必要十分である。【答案】 (1) [1]、[2]より [1]　g (x) が ( x - 1) 2 で割り切れるとき ...　① g ( x) = g (1) = g ¢(1) = 0 g (x) が ( x - 1) 2 å k =2 ここで g ( x) = n n å n å bk xk = k =0 k =2 b k x k + b1 x + b 0 ...　② で割り切れるための必要十分条件は a k f k ( x) の形に表されることである (2) g (x) が ( x - 1 ) 3 灘進学教室とおくと ①より n å g (1) = k =2 g ¢ (1) = n å k =2 b k + b1 + b 0 = 0 よって k b k + b1 = 0 b1 = - å k b k 、 b 0 = k =2 g ( x) = å k =2 b k ( 1 - k ) ...　③ å k =2 b k { f k ( x) + k x - k + 1 } n æ n ö ç ÷ - ç å k bk ÷ x + å bk (1 - k ) k =2 è k =2 ø = n å k =2 b k f k ( x) すなわち　g ( x) = n å k =2 [2]　逆に　g ( x) = n å k =2 g (1) = の形に表される å a k f k¢¢(1) = g (x) が ( x - 1)3 g ( x) = n å k =2 å k =2 n å a k f k (1) = 0 n å a k f k¢ (1) = 0 g (x) は ( x - 1) 2 の形に表されるとき (  f k (1) = 0 ) (  f k¢ (1) = 0 ) で割り切れる n å ak × k =2 k ( k - 1) =0 2 で割り切れるための必要十分条件は a k f k ( x) k (k - 1) ak = 0 2 を満たすことである a k f k ( x) の形に表されすなわち n k =2 よって　a k f k ( x) かつ a k f k ( x) k =2 g ¢ (1) = n k =2 f k ( x) = x k - k x + k - 1 および　②、③より n å かつ g ¢¢ (1) = g ( x) = n k =2 n このとき g (1) = g ¢(1) = g ¢¢(1) = 0 (1)の結果より n ∴ で割り切れるときの形に表され