レポート問題

応用解析・レポート問題（7 月 18 日）
提出期限：7 月 25 日
http://polaris.s.kanazawa-u.ac.jp/˜kareru/lectures jap.html
問題
問題 14.1. （2 点）
f (x) を周期 ` を持つ 2 回微分可能な偶関数とする。 f のフーリエ級数の cos の係数を an とする。 f の導関数
のフーリエ級数の収束のはやさが f のフーリエ級数の収束のはやさより 1 オーダー低いことを示せ。すなわち、
df
dx
のフーリエ係数を bn とおくと、
bn = Cnan ,
C ∈ R 定数
が成り立つことを示せばよい。
問題 14.2. （1 点）
関数 f (x) = x − x3 に対し、区間 x ∈ [−2, 3] における変動を計算せよ。
問題 14.3. （3 点）（練習・点数獲得のための問題）
関数 f (x) を次のように定義する：
{
f (x) =
−2x2 + 3x,
−x + 2,
x ∈ [0, 1]
x ∈ [1, 2]
この関数を周期 4 を持つ奇関数に拡張した関数を fo とし、f を周期 4 を持つ偶関数に拡張した関数を fe とす
る。以下の問に答えよ。
(a) fo に対するフーリエ級数 so を求めよ。
(b) so が R において一様収束するか調べよ。
(c) so (x) を項ごと微分した級数は R において一様収束するか調べよ。さらに、収束先の関数を求めよ。
(d) fe に対するフーリエ級数 se を求めよ。
(e) se が R において一様収束するか調べよ。
(f) se (x) を項ごと微分した級数は R において一様収束するか調べよ。

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