物理数学 I レポート問題 (担当教官：常行真司) (提出期限：平成 26 年 11 月 20 日 2 限) [1] 複素数 2i を極座標表示で表せ。 [2] 次の関数項級数の収束半径を求めよ。 ∞ f ( z ) = ∑ (n + 1) 2 z n = 1 + 22 z + 32 z 2 + L n =0 [3] 双曲線関数 tanh z の逆関数 tanh −1 z を， log を使って表せ。 [4] 複素数 z を z = x + iy （x, y は実数）と表す。正則関数 f ( z ) の実部を u ( x, y ) ，虚部を v( x, y ) とするとき，以下の問に答えよ。 (1) u ( x, y ) = x + x − y のとき v( x, y ) を求めよ。 2 2 (2) f ( z ) を求めよ。 [5] 次の積分の値を求めよ。 dz z + 2z (積分路 C は z = 0 を中心とする半径 1 の円) dz z + 2z (積分路 C は z = 0 を中心とする半径 3 の円) (1) ∫ C : z =1 (2) ∫ C : z =3 (3) eix ∫−∞ x2 + x + 1dx (4) 2 2 ∞ ∫ 2π 0 dθ 1 + ε cos θ （ただし ε は実数で， ε < 1 とする） [6] z から ω への写像 ω = e により、 z 平面上の実軸に平行な直線、虚軸に平行な直線が、 z ω 平面上でそれぞれどのような曲線に変換されるかを調べ、変換後の曲線が互いに直交す ることを確かめよ。（等角写像）
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