解析学特論第六レポート問題

解析学特論第六レポート問題
担当：柴田将敬
以下の諸注意に従って、レポートをまとめて提出せよ。
• 締め切りは 2014 年 12 月 9 日 (火)17:00。
• 提出先は本館 3 階 314B（田辺・柴田研究室）のドアの右脇にあるメールボックス。
• レポート問題 1 から 7 のうち、4 題以上を選んで、解答をレポートにまとめる。
• A4 の紙を使用する。
• ホッチキス等で止める。
• 学籍番号・氏名をわかりやすい場所に書く。
• 紙の裏面は白紙にして記入しない。
• 問題ごとにページを改め、それぞれの問題の解答の始めに問題番号を書く。
• 読みやすさを考えて書く。
• 他人のレポートなどを写さない。参考にする場合でも、自分で一度理解したものを
書く。
• 後で内容を確認・復習出来るようコピーを取る。
• 問題設定などについて疑問があるときは、柴田（[email protected]）まで。
以下、特に断らないかぎり、n ∈ N, Ω は RN の領域とする。
レポート問題 1. u ∈ C(Ω) が、
∫
u(x)ϕ(x) dx = 0 for any ϕ ∈ C0 (Ω)
(1)
Ω
を満たすとき、u = 0 in Ω が成り立つことを示せ。
レポート問題 2. (i): H¨
older の不等式の主張を述べよ。
(ii): 1 ≤ p ≤ r ≤ q ≤ ∞ に対して、1/r = θ/p + (1 − θ)/q が成り立つように θ を定める。
可測関数 f : Ω → R に対して
∥f ∥Lr (Ω) ≤ ∥f ∥θLp (Ω) ∥f ∥1−θ
Lq (Ω)
(2)
が成り立つことを示せ。
レポート問題 3. R 上の関数 f (x) =
√
|x| に対して、f の弱導関数を求めよ。
レポート問題 4. 次を満たすような {un } ⊂ L2 (RN ) を構成せよ。
(i) un ≥ 0, ∥un ∥L2 (RN ) = 1, un ⇀ 0 weakly in L2 (RN ), un → 0 in L1 (RN ) as n → ∞.
(ii) un ≥ 0, ∥un ∥L2 (RN ) = 1, un ⇀ 0 weakly in L2 (RN ), un → 0 in L∞ (RN ) as n → ∞.
1
(iii) un ≥ 0, ∥un ∥L2 (RN ) = 1, un ⇀ 0 weakly in L2 (RN ) as n → ∞, lim inf n→∞ ∥un ∥L1 (RN ) >
0, lim inf n→∞ ∥un ∥L∞ (RN ) > 0
レポート問題 5. N ≥ 2, p ∈ (1, 2∗ − 1) とし、c > 0 に対して
∫
∫
1
1
2
2
Ic (ϕ) =
|∇ϕ| dx + cϕ dx −
ϕp+1 dx,
2 RN
p + 1 RN +
{
}
Nc = ϕ ∈ H 1 (RN ) \ {0}; Ic′ (ϕ)ϕ = 0 ,
Ec = inf Ic
Nc
とする。c 7→ Ec は狭義単調増加であることを示せ。なお、各 c > 0 について、この変分問題
の最小エネルギー解が存在することは用いて良い。
レポート問題 6. N ≥ 2, p ∈ (1, 2∗ − 1) とする。変分問題
∫
inf
u∈H 1 (RN )\{0}
*1 について、global
(
∫R
N
RN
|∇u|2 + u2 dx
2/(p+1)
up+1
+ dx)
minimizer v の存在を示し、v を用いて、方程式
−∆u + u = up , u > 0 in RN
の解を作れ。
レポート問題 7. この講義で扱った内容に関連する事を題材に、レポートせよ。
*1
(3)
指摘により、2014 年 12 月 4 日訂正、太字部分を追加
2
(4)

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