基礎物理学演習（後期第７回）担当：岡林潤 1. G 真空中を z 方向に進む電場ベクトル E ( z , t ) = ( E0 cos(kz − ωt ),0,0) がある。 G (1)Maxwell 方程式を満たすための条件を求めよ。また、対応する磁束密度 B を求めよ。 (2)この電磁波のエネルギーの伝播する向きと、エネルギー流密度(単位時間、単位長さあたり流れるエネルギー)の時間変化を求めよ。 2. 電子電離した気体をプラズマという。電離した原子（または分子）は、自由に動くことができる電子と正の電荷をも E つイオンに分かれる。2 枚の絶縁板の間に閉じ込められたプラズマを考えよう。電子の質量を m 、電荷を − e 、 −σ σ x プラズマ中の電子の粒子密度を N とする。電子に比べてイオンの質量ははるかに大きいので、イオンの運動は考えなくてよい。図のように電離した電子が一斉に x だけ変位したとすると、プラズマの両端にはそれぞれ面積あイオンたり ± σ = ±eNx の電荷が現れる。この電荷分布は帯電した平行板コンデンサと同じで、プラズマ内には E = σ / ε 0 の電場が生じる。誘起されたこの電場により、電子は元の位置に引き戻す復元力を受けて振動する。この振動をプラズマ振動数という。プラズマ振動の固有角振動数を求めよ。 3. (1) 誘電率 ε 、電気伝導率 σ の物質中に、交流電場 E (t ) = E0 sin ωt が生じている。ε , σ が ω によらないとき、伝導電流と変位電流の位相差はどのようになるか。また、媒質を導体とみなせるとき、 ε , σ , ω の間の関係を調べよ。 (2) 次の媒質に対して交流電流を流した。導体とみなせるのはどのような場合か。 (i) アルミニウム； σ = 3.5 ×107 S/m, ε ≅ ε 0 (ii) 海水； σ = 2 S/m, ε = 81ε 0 (iii) 雲母； σ ≅ 1012 S/m, ε ≅ 4ε 0 4. z ≥ 0 の版無限空間にある導体（電気伝導率 σ 、透磁率 G G μ ）の表面に、平面電磁波が垂直に入射した。電場 E = ( E x ,0,0) 、磁束密度 B = (0, By ,0) として、 E x , B y は x, y 成分に依存しないとき、導体内での電磁場の振る舞いを、準定常電流の近似の範囲で調べよ。 5. (1) 極低温の超伝導体（水銀では 4.2 K 以下）では、電気抵抗がゼロになり、オームの法則が成立しなくなる。ロンドン(F. London)は、超伝導体中では G ne 2 G G rot j + B=0 m が成り立つと考えた。ただし、 m は電子の質量、 e は電気素量、 G n は単位体積あたりの電子の個数とする。上式と Maxwell 方程式から磁場 B に関する微分方程式を求めよ。 (2) 超伝導体では、磁束密度が内部へ深く侵入しない。磁束密度の超伝導体への侵入の状態を、準定常電流の近似の範囲内で調べよ。 6. ニュートン力学の法則は、速度が異なる系への変換（ガリレイ変換）に対して物理法則が変わることはない。今、1 次元 x 方向に速度 V で動く系では、座標を (x′, y′, z′, t ′) = (x − Vt , y, z , t ) と表せる。この逆変換は、 (x, y, z, t ) = (x′ + Vt ′, y′, z′, t ′) である。 Maxwell 方程式から導かれる電場を E ( x, t ) = E0 ei ( kx−ωt ) とするとき、波動方程式 ∂2E 1 ∂2E = ∂x 2 c 2 ∂t 2 から導かれる光速 c は、ガリレイ変換に対して不変でないことを示せ。 7. 光速が不変になる座標変換を考える。S 系と相対速度 V を持つ慣性系 S’系で原点から出た光を観測する。光速度不変の原理によれば、原点から出た光の波面は、いづれの座標系でも球面になる。 S系 x 2 + y 2 + z 2 = (ct ) 2 [1] S’系 x′2 + y′2 + z′2 = (ct ′) 2 [2] と表せるはずである。 ( x, y, z , t ) から (x′, y′, z′, t ′) への変換は、時間・空間の一様性から 1 次変換でなければならず、 x′ = A( x − Vt ) , y′ = y , z′ = z , t ′ = B1 x + B2t [3] とおいてみる。これらを[2]式に代入して A, B1 , B2 を決めると x′ = 1 1 − (V / c) 2 ( x − Vt ) , y′ = y , z′ = z , t ′ = ⎛ Vx ⎞ ⎜t − 2 ⎟ 1 − (V / c) ⎝ c ⎠ 1 2 [4] となる。これをローレンツ変換という。この逆変換は x= 1 1 − (V / c) 2 ( x′ + Vt ′) , y = y′ , z = z′ , t = ⎛ ′ Vx′ ⎞ ⎜t + 2 ⎟ c ⎠ 1 − (V / c) ⎝ 1 2 [5] となる。Maxwell 方程式から導かれる光速 c はローレンツ変換に対して不変であることを示せ。（今回のレポートは提出不要）レポート問題 7-1 アルミニウムは電気伝導率 σ = 3.5 × 107 S/m、透磁率は μ ≅ μ0 である。問題 4 の結果を用いて、各周波数に対する表皮効果の深さ δ を求めよ。 (1) 1 kHz (2) 5 MHz (3) 2 GHz (4) 1015 Hz レポート問題 7-2 z 方向に進む電磁波に対する電場の x 成分 Ex ( z , t ) = E0ei ( kz −ωt ) を誘電率 ε 、透磁率 μ 、電気伝導率 σ が一様な媒質中を伝わる電磁波が満たす微分方程式 ∂E ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex εμ + σμ x = 2 2 ∂t ∂t ∂z に代入し、問題 4 と同様な方法を用いて、表皮効果の深さを求めよ。レポート問題 7-3 G G 電磁場 E , B を x 方向に等速度 V で移動する慣性系 S’で観測すると Ex′ = Ex Bx′ = Bx E ′y = E z′ = E y − VBz 1 − (V / c) 2 E z + VBy 1 − (V / c) 2 B′y = Bz′ = By + V ( Ez / c 2 ) 1 − (V / c) 2 Bz − V ( E y / c 2 ) 1 − (V / c) 2 G G と変換される。また、電荷密度 ρ および電流密度 J = ρv は、 J x′ = J x − Vρ 1 − (V / c) 2 , J ′y = J y , J z′ = J z , ρ ′ = ρ − VJ x / c 2 1 − (V / c) 2 G G のように変換される。観測する系によって磁束密度 B は電場 E として、逆に電 G G 場 E は磁束密度 B として観測される。このことをふまえて以下の問いに答えよ。 (1)間隔 d で平行に置かれた無限に長い細い絶縁棒に、棒に対して静止した座標系で見て一様な線密度 + λ , − λ で電荷が与えられている。この 2 本の棒を長さ方向に速度 v で動かすとき、単位長さあたりの棒に働く力を静止系および棒と共に移動する系についてそれぞれ求めよ。 G G G G E ⋅ B = const. となることを示せ。 (2) E 2 − c 2 B 2 = const. (一定)