応用代数学第 1回レポート問題

応用代数学第 1 回レポート問題
※問題 1∼問題 4 は必答，特記のない限り答えだけでなく導出過程もきちんと書くこと．
問題 1
次の (i) ∼ (iv) に挙げる集合 G が演算 ◦ に関して群をなすかどうかを述べよ．さらに，群になっている
ものについてはその位数および演算 ◦ の可換性も調べよ．ただし，R× = R\{0}．
(i) G = R× ，x ◦ y =
x2 + y 2 − 1
．
xy
(ii) G = {0，1}，◦：論理和．
(iii) G = {0，1}，◦：排他的論理和．
(iv) G = {A：全ての成分が R の n 次正方行列；det A = r} (ただし，r ∈ R)，◦：通常の行列の積．
問題 2
次の各問に答えよ．
(i) 非可換群で位数が 2 番目に小さいものの例を挙げ，その位数を答えよ (答えのみでよい)．
(ii) 位数が素数になる有限群は巡回群に限られることを示せ．
(iii) 2 面体群 D3 = ⟨ a，b | a3 = b2 = abab = e ⟩ において，任意の ak1 bk2 · · · ak2n−1 bk2n (k1 ，k2 は任意の，k3 ，
· · · ，k2n は 0 でない整数) は ak bl (k = 0，1，2，l = 0，1) の形に変換可能であることを示せ．
問題 3
一次分数変換全体からなる集合を G とする：
{
}
ax + b G = f (x) =
a,
b,
c,
d
∈
C
，
ad
−
bc
=
̸
0
．
cx + d また，G 上での演算 ◦ を写像の合成で定義するとき，次の問いに答えよ．
(i) f (x)，g(x) ∈ G に対し，(f ◦ g)(x) ∈ G を示せ．
(ii) f (x) ∈ G に対し，逆関数を f −1 (x) とするとき，f −1 (x) を求め，f −1 (x) ∈ G を示せ．
[
]
a b
∈ GL(2，C) に対し，以下
(iii) 複素数を成分とする 2 次の正則な正方行列全体を GL(2，C) とする．A =
c d
で定義される fA (x) ∈ G を対応させる写像を ϕ とするとき，ϕ が準同型であることを示せ．ここで，GL(2，
C) における演算は通常の行列の積とする．
fA (x) =
問題 4
ax + b
.
cx + d
G を群とするとき，G から G 自身への同型写像全体からなる集合を Aut(G) と表す．このとき，Aut(G)
は写像の合成 ◦ に関して群となることを示せ．
1
問題 5
次の各問いに答えよ．(この問いに関しては解答の義務はない．)
(i) G = { x = (x0 ，x1 ，x2 ，· · · )；xn ∈ {0，1} n = 0，1，2，· · · } において，演算 ◦G を x◦G y = (x0 +y0 −2x0 y0 ，
x1 + y1 − 2x1 y1 ，x2 + y2 − 2x2 y2 ，· · · ) で定義するとき，x ◦G y ∈ G を示せ．また，この演算 ◦ に関して，
G が群をなすことを示せ．
(ii) |z| > 1 で定義された複素関数の集合の部分集合 G′ を
{
}
∞
∑
′
−(n+1)
G = A(z) =
an z
；an ∈ {0，1} n = 0，1，2，· · ·
n=0
とする．A，B ∈ G′ に対し，(A ∗ B)(z) を以下で定義する：
∫
1
1
1
dζ
A(z 2 ζ −1 )B(z 2 ζ)
.
(A ∗ B)(z) = −
2πi
ζ
√
ここで，i = −1 は虚数単位，積分経路は複素平面上の単位円 |ζ| = 1 を時計回りに回る経路とする．また，
1
1
z 2 は w2 = z なる w ∈ C を表す．このとき，(A ∗ B)(z) は z 2 のとり方に関係なく (w2 = z なる w ∈ C
のうちどちらをとっても) 一意に定まり，さらに (A ∗ B)(z) ∈ G′ が成り立つことを示せ．
(iii) G′ 上での演算 ◦G′ を (A ◦G′ B)(z) = (A + B − 2(A ∗ B))(z) で定めるとき，G′ は ◦G′ について群をなすこ
とを示せ．
(iv) x = (x0 ，x1 ，x2 ，· · · ) ∈ G に Fx (z) =
∞
∑
xn z −(n+1) を対応させる写像を f とするとき，逆写像 f −1 を
n=0
求めよ．
2

Download Report