レポート課題 (11 月 20 日出題) の解答例とコメント課題 1 次のような n 次正方行列 A（対角成分がすべて 0 の上三角行列）について An = O であることを示せ．  0 ∗ 0 0   .. ..  . . 0 0 ··· ··· .. . ···  ∗  ∗  ..  .  0 課題 2 n 次正方行列 A j は，上三角行列で ( j, j) 成分が 0 だとする．A1 A2 . . . An = O であることを示せ．まず，課題 2 の解答例を示そう．A j を行について第 j − 1 行と第 j 行の間で，列について第 j 列と第 j + 1 列の間で分割すると， ( ) Cj , Dj B Aj = j O    Bn  ( となる．なお，An =   , A1 = O O    x た y =   , x ∈ C j について 0 B j は ( j − 1) × j 型, O は (n − j + 1) × j 型    Bn x  , Bn x ∈ Cn−1 である．ま D1 である．まず x ∈ Cn について An x =  0  ) ( B A jy = j O Cj Dj )( ) ( ) x Bjx = , 0 0 B j x ∈ C j−1 となる．よって B2 B3 · · · Bn x ∈ C1 （要するにただの複素数）を z とおけば ( ) z A2 A3 · · · An x = 0 でありさらに A1 をかければ 0 になる．よって A1 A2 · · · An = O が成り立つ．課題 1 については，A はすべての j について A j に課せられた条件を満たしているので A = A1 = A2 = · · · = An として課題 2 を適用すればよい．【コメント】 • 解答例では分割乗法（1 年次のテキスト p.13–14）を使った．Ak の左下のブロック（(n − k + 1) × k 型）が 0 行列になっていることしか使っていない．実際，三角行列でなくても左下のブロックが O なら成立している． • 解答例の分割で，Ak−1 の列の分割の仕方と Ak の行の分割の仕方がともに k − 1 番目と k 番目の間であることに注意せよ．AB を分割乗法で計算する際には，A の列の分け方と B の行の分け方が同じでなくてはならない．（1 年次テキスト p.14 のの 9 行目） • 課題 1 は冪零行列の典型例を与えている．A を 1 回かけるたびに，斜めに並んだ 0 の範囲が 1 段ずつ上にずれていき，n 回目で 0 行列になる．このことは Ck = {t (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0) ∈ Cn } ⊂ Cn の了解のもとに x ∈ Ck =⇒ Ax ∈ Ck−1 であることを示せばよい．A をかけるたびに各列の 0 の個数が一つずつ増えていく．