5 類 T クラス線形代数学第二練習問題テストの問題は下記に似ている

5 類 T クラス線形代数学第二練習問題 1
中間試験の時間:
11 月 27 日 (木) 10:45∼12:15
場所:
S222 講義室.
テストの準備には, 以下の問題を解いたり, 講義のノートを勉強したり, 教科書の 4.1, 4.4,
5.1-5.4, 6.1-6.3, (参考のため 4.2-4.3) を読んだりするのが役に立ちます.
来週の火曜日 (11 月 25 日) に練習問題の解答をこのウェブサイトにアップします.
テストの問題は下記に似ているとは限らない.
[1] R4 の 2 つの部分空間 W1 , W2 を
  

 x1
x2 
W1 =
x3  ∈ R4


x4
  

 x1
x2 
W2 =
x3  ∈ R4


x4



x1 + x2 + x3 + x4 = 0,
,
2x1 + x2 − x3 − 2x4 = 0 



2x + 3x + 5x + 6x = 0, 
1
2
3
x1 + x2 + x4 = 0
4


で定めるとき, W1 , W2 , W1 ∩ W2 , W1 + W2 それぞれに関して, 次元と 1 組の基底を
求めよ.
[2] (a) P2 (R) を 2 次以下の実係数多項式全体とする. 3 つの P2 (R) のベクトル
x2 − x + 1,
2x2 + 2x − 1,
−x2 − 2x + 1
は一次独立であることを示せ.
(b) ベクトル 1, x, x2 ∈ P2 (R) それぞれについて, (a) の 3 つのベクトルの一次結
合で表すことができるか, またその表し方が一通りかどうか調べよ.
[3] 2 次の実正方行列全体 M2 (R) は行列の和と実数倍によって, 実ベクトル空間となる.
(a) M2 (R) の次元と 1 組の基底を求めよ.
[
]
a b
(b) 行列 A =
をとり, M2 (R) の変換 LA を X ∈ M2 (R) に対し LA (X) =
c d
AX で定める. LA は線形変換であることを示せ.
(c) (a) で定めた基底1 に関する LA の表現行列を求めよ. (ただし, 基底を v1 , . . . , vk
で表すと, 表現行列の (i, j) 成分 mij を次のように得る. LA (vj ) を v1 , . . . , vk
の一次結合で表すとき, mij は, vi につけてある係数に他ならない.)
(d) M2 (R) の線形変換 RA を X ∈ M2 (R) に対し RA (X) = XA で定めるとき, (a)
で定めた基底に関する RA の表現行列を求めよ.
1
各自で自由に順序を付けて下さい.
     

3 
2

 1






3
2
3
[4] 線形写像 f : R → R について, R の基底  2  ,  4  ,  5  と R2 の基底


 3
6 
5
 
{[ ] [ ]}
[
]
x
2
3
3 0 1
 
,
に関する表現行列が
で与えられるとき, f  y  を
3
5
2 −1 3
z
計算せよ.
[5] (a, b) と (c, d) を R2 上のベクトルとする.
4点
(0, 0),
(a, b),
(c, d),
(a + c, b + d)
を頂点とする四角形 P ((a, b), (c, d)) を
(a, b) と (c, d) の張る平行四辺形という. 右
図を用いて,
P ((a, b), (c, d)) の面積
(
[
])
a b
= abs det
= |ad − bc|
c d
✻
b + d ❳❳
✏
✶
✏
❳❳❳
✏
✏
❍
❍ ✁✕
❳❳✏✏
❍
d
❍ ❍❍ ❍ ✁
❍❍ ❍✁
✁✕❍
❍❍
❍✁
✁❍
❍ ❍
❍
❍ ❍❍
✁❍
❍❍ ✁
❍❍
✁❍
❍
❍✁
❍
❍❍
❍❍
✁❍
✁
❍
❍✁
✁❍
❍❍
❍
❍
❍ ✁
✁❍
❍❍
❍
❍❍
✁❍
❍✁
❍
❍
❍❍ ✁
✁❍
❍❍
❍
❍❍
✁❍
❍✁
❍❍ ❍
✁❍
❍
✁
❍
❍❍ ❍
b ✁❍
❍
✁
✶❳❳❳
✏
❍✏
❍✏
✁❍
❳❳❳
❍✏
✁✏✏
❳
a c
✲
a+c
であることを示せ. (ただし abs = 絶対値.)
[
]
3 1
[6] (i) 行基本変形を用いて, 行列
の (2, 1) 成分を掃き出し, 得られた行列の
3 6
(1, 2) 成分を掃き出せ.
(ii) (i) ででてくる 3 つの行列の行ベクトルによって張られた平行四辺形を同じ座
標系上に描け. (P ((3, 1), (3, 6)) ともう 2 つのもの.)
(iii) 3 つの平行四辺形の面積は一致することを示せ.
[7] 点 P = (1, 0, 2) を通り, v = (−2, −2, 0) を方向ベクトルとする直線 k と点 Q =
(0, 0, −1) を通り, w = (−1, 1, 1) を方向ベクトルとする直線 l に関して次に答えよ.
(1) 2 直線は共通点を持たない (いわゆるねじれの 2 直線である) ことを示せ.
(2) 2 直線の距離を求めよ.
(3) 2 直線の共通垂直線を求めよ.
[8] Π を 3 点 P = (0, 0, 2), Q = (3, −1, 4), R = (2, 3, 1) を通る平面とするとき, 点
S = (1, 0, 1) と Π の距離を計算せよ.
[9] 2 平面 x + 2y + 2z = 1 と 2x − y + 3z = 1 がなす角と共通直線の方向ベクトルを求
めよ.
[10] 空間の四面体 ABCD の各面において, 面に直交し, 外側に指し, 及び長さが面の面
積と一致するベクトルを考える. その 4 つのベクトルの和が 0 であることを示せ.
[11] 高々 2 次の多項式全体のなすベクトル空間 P2 (R) において, f, g ∈ P2 (R) に対し
∫ 1
(1)
(f, g) =
f (x)g(x) dx
−1
と定義すると, これが P2 (R) 上の内積となる.
(a) 内積の性質 (f, α1 g1 + α2 g2 ) = α1 (f, g1 ) + α2 (f, g2 ) を確かめよ. (ただし,
f, g1 , g2 ∈ P2 (R) であり, α1 , α2 ∈ R である. )
(b) 内積の性質 ∥f ∥ ≥ 0, さらに ∥f ∥ = 0 ならば f = 0 であることを確認せよ. (た
√
だし ∥f ∥ = (f, f ) である.)
(c) (1 + x2 , x − 3x2 ) と ∥1 − x∥ の値を求めよ.
(d) (1) の内積に関して, 基底 A = { 1, x, x2 } に対するグラム行列を求めよ. A は
直交系であるか.
(e) A をシュミットの直交化法によって正規直交基底に直せ.
{
[ ]
[ ]}
1
1
[12] R2 の 2 つのベクトル a1 =
, a2 =
が正規直交基底となるような R2
1
2
の内積を構成せよ.

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