第6回 - 名古屋大学

2W 数学演習 V・VI
標準 H006-1
担当教員 : 浜中真志研究室 : A327
E-mail:[email protected]
ジョルダン標準形序論
作成日 : November 22, 2011 Updated : November 24, 2011
実施日 : November 25, 2011
目覚まし線形代数
問題 1. R2 から R2 への線形変換 (行列表示を A とする) について以下の問いに答えよ.
( ) ( )
( ) ( )
2
0
1
1
(1) 2 つのベクトル
,
をそれぞれ,
,
に写すとき, 行列 A を求めよ.
1
1
2
5
(方針は 3 秒で頭の中で答えよ.)
( ) ( )
( ) ( )
1
0
0
8
(2) 2 つの単位ベクトル
,
をそれぞれ,
,
に写すとき, 行列 A を 1 秒
0
1
4
5
で答えよ.
ベキ零行列
定義 1. n 次正方行列 A がベキ零行列であるとは, ある自然数 k に対して Ak = O
(O は n × n の零行列を表す) となるときを言う. 定義により, 零行列はベキ零行列
である.


0 1 0 0
 0 0 1 0 


問題 2. 行列 A = 
 がべき零行列であることを示し, 固有多項式を求めよ.
 0 0 0 1 
0 0 0 0
また縦ベクトル ⃗ek (第 k 成分が 1, その他の成分が 0 であるような n 項縦ベクトル) に対
して, A⃗ek , (k = 1, 2, 3, 4) を求めよ.
問題 3. n 次正方行列 A に対し, 次の 4 つの条件が互いに同値であることを示せ.
(1) A がベキ零行列である.
(3) A の固有多項式が X n である.
(2) An = O である.
(4) A の固有値がすべて 0 である.
(たとえば，(4) ⇒ (3) ⇒ (2) ⇒ (1) ⇒ (4) を示す.)
問題 4. ベキ零行列 A に相似な行列はベキ零行列であることを示せ.
問題 5. ベキ零行列 A が対角化可能ならば A = O であることを示せ.
問題 5 の結果の対偶を取ると，以下の事実が分かる：
零行列でないベキ零行列は対角化可能ではない.
標準 H0-2W11-06 難易度 : C
名古屋大学・理学部・数理学科
2W 数学演習 V・VI
標準 H006-2
担当教員 : 浜中真志研究室 : A327
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問題 6. A を n 次のベキ零行列, ⃗v を n 項縦ベクトル (= n 項列ベクトル) とする. n 個の
n 項縦ベクトル An−1⃗v , · · · , A⃗v , ⃗v を横に並べた行列 (An−1⃗v , . . . , A⃗v , ⃗v ) を P と置くと,


0 1


..


.
0

AP = P 


...

1 
0
O
O
が成り立つことを示せ.
特別なベキ零行列のジョルダン標準形
以下では最小多項式が X n であるような n 次正方行列 A を扱う. 「最小多項式が X n で
ある」という条件は「An−1 ̸= O かつ An = O」という条件と同値であることに注意せよ.
(最小多項式が X k (1 < k < n) であるような n 次正方行列のジョルダン標準形は今回は
扱わない. なお f (x) が A の最小多項式であるとは, 最高次係数が 1 であり, f (A) = O を
満たす多項式の中で次数が最小のものであるときをいう.)
問題 7. 最小多項式が X n であるような n 次正方行列 A に対して, 命題
「n 項縦ベクトル ⃗v をうまく取ってくると, n 個のベクトル ⃗v , A⃗v , · · · , An−1⃗v
が一次独立になるようにできる.」
を次の手順で証明せよ.
(1) An−1⃗v が零ベクトルにならないような縦ベクトル ⃗v が存在することを示せ.
(2) An−1⃗v ̸= ⃗0 であるような縦ベクトル ⃗v に対して, n 個の縦ベクトル ⃗v , A⃗v ,· · · , An−1⃗v
が一次独立であることを示せ.
問題 6, 問題 7 から次のことがわかる.
定理 1. n 次正方行列 A の最小多項式が X n ならば,

0 1

..

.
0
−1

P AP = 
...

O
O





1 
0
となるような n 次の正則行列 P が存在する. (右辺の行列を A のジョルダン標準形
と呼ぶ.)
標準 H0-2W11-06 難易度 : C
名古屋大学・理学部・数理学科
2W 数学演習 V・VI
標準 H006-3
担当教員 : 浜中真志研究室 : A327
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今週の宿題 (提出期限は 12 月 2 日の演習開始時です)
問題 8. n を 2 以上の自然数とし, n 次正方行列 A の最小多項式が (X − a)n であるとす
る. また, E を n 次の単位行列とする. このとき
(1) A は対角化可能でないことを示せ.
(2) 次式を満たすような n 次の正則行列 P が存在することを示せ.


a 1
O


..


.
a

P −1 AP = 


...

1 
O
a
右辺の行列を A のジョルダン標準形と呼ぶ.
(ヒント：B = A − aE とおき, 問題 7 の結果を利用.)
(
問題 9. 行列 A =
)
3 1
−1 1
について, 以下の問いに答えよ.
(
(1) すべての自然数 n に対して，
a 1
0 a
)n
(
=
n
a
0
n−1
na
an
)
となることを示せ.
(2) An (n は自然数) を求めよ.
(3) exp(A) :=
∞ 1
∑
Ak を求めよ.
k=0 k!
標準 H0-2W11-06 難易度 : C
名古屋大学・理学部・数理学科
2W 数学演習 V・VI
標準 H006-4
担当教員 : 浜中真志研究室 : A327
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今週のボーナス問題 (提出期限は 12 月 2 日の演習開始時です)
問題 10. (ベキ零行列とベキ単行列)
E を n 次の単位行列とする. B − E がベキ零行列であるような n 次正方行列 B をベ
キ単行列という. ベキ単行列の固有値はすべて 1 (特に正則) であり, 対角化可能なベキ単
行列は単位行列 E のみである. ベキ零行列 A にベキ単行列 A + E を対応させることに
より, 次の 1 対 1 対応ができる (逆写像は B 7→ B − E である).
1:1
n 次のベキ零行列全体の集合 ↔ n 次のベキ単行列全体の集合
A
7→
A+E
この問題ではこれとは別の 1 対 1 対応を考えてみよう. (なお n 次のベキ零行列 A は
Ak = O (k ≥ n) を満たすことに注意.)
(1) A がベキ零行列ならば exp(A) がベキ単行列であることを示せ. (ヒント：A, A′ が
交換可能なベキ零行列なら A + A′ もまたベキ零行列であることに注意.)
(2) 次の集合の間の写像が全単射であることを示せ.
n 次のベキ零行列全体の集合 → n 次のベキ単行列全体の集合
∞ 1
∑
A
7→
exp(A) =
Ak
k=0 k!
ヒント：次の写像が exp の逆写像であることを示せば良い.
B (ベキ単行列) 7→ log(B) =
∞
∑
(−1)k−1
k=1
k
(B − E)k
無限和はどちらも実際は有限和であることに注意.
標準 H0-2W11-06 難易度 : C
名古屋大学・理学部・数理学科

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