幾何学演習問題 1. 2014 年 10 月 02 日 f : Rm → Rn を C r -級写像，g : Rn → R を C r -級関数とすると，合成関数 g ◦ f : Rm → R も C r -級関数であることを示せ．問題 2. W はベクトル空間 V の部分空間とする．この時，次を示せ．（１） u, v ∈ V に対し，“u ∼ v ⇐⇒ u − v ∈ W ” で ∼ を定義すると， ∼ は同値関係になる．（２）商集合 V / ∼ に “[u] + [v] := [u + v],” “c[u] = [cu]” で和とスカラー倍が矛盾なく定義できて，V / ∼ はベクトル空間となることを示せ．（これを V /W と書いて，商ベクトル空間と呼ぶ．）問題 3. （１）位相空間 (X, O) の位相 O が，ハウスドルフの分離公理を満たすことの定義を述べよ．（２） (X, O1 ) をハウスドルフ空間とすると，{x} ⊂ X は閉集合であることを示せ，ここで，x ∈ X は X の一点である．（３） (X, O1 ) をハウスドルフ空間，(Y, O2 ) を任意の位相空間とする． f : (Y, O2 ) → (X, O1 ) が連続写像ならば，f −1 ({x}) ⊂ Y は閉集合であることを示せ．問題 4. （１）距離空間と距離位相の定義を述べよ．（２）距離位相はハウスドルフの分離公理を満すことを示せ．問題 5. 件は（１） RN の n + 1 個の点 a0 , a1 , . . . , an が一般の位置にあるための必要十分条 n ∑ ti = 0, i=0 n ∑ ti ai = 0 ならば t0 = t1 = · · · = tn = 0 i=0 であることを示せ. ただし ai と ai の位置ベクトルを同一視した (問題 6 も同様)．（２） n-単体 |a0 a1 . . . an | の点 p ∈ |a0 a1 . . . an | の表示 p = λ0 a0 + λ1 a1 + · · · + λn an は一意的であることを示せ．問題 6. a0 , a1 , . . . , an ∈ RN を一般の位置にある n + 1 個の点とする． n-単体 |a0 a1 . . . an | と点の集合 {a0 , a1 , . . . , an } ⊂ RN の凸包は一致することを示せ．部分集合 A ⊂ RN の凸包とは，A を含む最小の凸集合．