レポート (11) （1 月 8 日出題）

レポート (11) （1 月 8 日出題）
1. G を群、H をその部分群とする。a ∈ G、h ∈ H に対し、(ah)H = aH が成り立つことを示せ。
def.
2. 群 G の中心 Z(G) を G の可換な元全体の集合、すなわち、Z(G) := ZG (G) = {g ∈ G | gx = xg (∀x ∈ G)} と定義
する（ZG (G) は、11 月 20 日出題のレポート (7) 5 で定義した中心化群で、S = G としたものという意味）。このとき、
Z(G) は G の正規部分群であることを示せ。部分群であることを示す必要はない。
3. G を群、H を G の（正規とは限らない）部分群、N 、N ′ を G の正規部分群とする。このとき、
(1) (H ∩ N ) ▹ H であることを示せ。また、特に N ⊂ H のとき、N ▹ H であることを示せ。
def.
def.
(2) N H := { nh | n ∈ N, h ∈ H }、HN := { hn | h ∈ H, n ∈ N } とするとき、
(i) N H = HN であることを示せ。
′ def.
′
′
(ii) N H は G の部分群であることを示せ。
′
(3) N N := { nn | n ∈ N, n ∈ N } とするとき、N N ′ ▹ G であることを示せ。
def.
4. G を群、N ▹ G とする。G/N 上の積を、(aN )(bN ) := (ab)N (a, b ∈ G) で定義する。G の単位元を e とする。
(i) この積に対し、結合法則が成り立つことを示せ。
(ii) G/N の単位元は N （すなわち、eN ）であることを示せ。
(iii) aN ∈ G/N の逆元は、a−1 N であることを示せ。
def.
5. (i) 4 次対称群 S4 の部分群 V4 := { e, (1 2)(3 4),
せ。部分群であることを示す必要はない。
(1 3)(2 4),
(1 4)(2 3) } は S4 の正規部分群であることを示
(ii) 前回のレポート 2 の同値類別をもとに、剰余群 A4 /V4 の乗積表を作成せよ。
def.
6. (i) 群 G の交換子群 D(G) := ⟨aba−1 b−1 |a, b ∈ G⟩ は、G の正規部分群になることを示せ。部分群であることを示す
必要はない。
(ii) 剰余群 G/D(G) はアーベル群であることを示せ。
• 提出は A4 の市販のレポート用紙を使ってください。ルーズリーフは使用しないこと。
• 必ず全ての問題に解答してください。解答されていない問題がある場合は、添削はしますが評価はしません。
• あくまでも人に読ませるものであることを意識してください。解読できない乱雑なもの、文章が成立していないもの
は提出したとみなしません。
• 丸写しと認められるレポートは提出したとみなしません。また、ファイルを丸ごとコピーするおそれがあるので、ワー
プロ等での提出は認めませんので、ご了承ください。
• 1 月 22 日正午までに提出してください。
• このレポートは提出が義務付けられるものではありません。提出した場合には、総合点に加点されます。

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