第1回演習問題

数学演習 IA・小テスト (４月１６日分)
1. l × m 行列 A = (aij ) と m × n 行列 B = (bij ) の積 C = AB を考える.
(1) 行列 C = (cij ) としたとき, aij と bjk を用いて cij を表せ.
(2) ３つの行列 X, Y , Z に対して積 (XY )Z が定義出来るとき,
• 積 X(Y Z) も定義出来ること,
• (XY )Z = X(Y Z) が成立すること,
をそれぞれ証明せよ.
∑
2. n 次正方行列 A = (aij ) に対して tr(A) = ni=1 aii を A のトレースという.
２つの n 次正方行列 A = (aij ), B = (bij ) に対して, tr(AB) = tr(BA) を示せ.
3. n 次正方行列 A = (aij ) に対して, (i, j) 成分が aji で与えられる行列を t A と
t
書き, A の転置行列という. ２つの n 次正方行列 A, B に対して, (AB) = t B t A
を示せ.
4. 次の行列のうち積が定義される全ての組み合わせを求め, さらにその積を
計算せよ. 但し自分自身との積も考える.


 
2 0 0
2
( )
(
)


 
,
,
,
2 1 3
2
0 1 0
1
3
0 0 3
5. ２つの n 次正方行列 A, B に対して AB = BA は成り立つか？正しければ
証明し, 正しくなければ反例を挙げよ.
6. A を n 次正方行列とする. ある自然数 m が存在して Am = O となるとき,
A は冪零行列であるという. ２つの n 次正方行列 A, B がともに冪零行列で
可換（つまり AB = BA）ならば, AB も冪零行列であることを示せ. 但し, A
に対する自然数 m と B に対する自然数 m は一般には異なることに注意せよ.

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