問題 54. 次の R から R への写像について, 全射であるか単射であるか

問題 54. 次の R から R への写像について, 全射であるか単射であるか吟味
せよ.
(1) f1 (x) = x + 1,
(2) f2 (x) = x3 ,
(3) f3 (x) = x3 − x
(4) f4 (x) = ax (a > 0, a 6= 1) (5) f5 (x) = x2
問題 55. 写像 f : A → B, g : B → C について f と g が全射であれば g ◦ f
も全射であることを示せ.
問題 56. 写像 f : A → B, g : B → C について f と g が単射であれば g ◦ f
も単射であることを示せ.
問題 57. f ◦ g 6= g ◦ f が成り立たないような写像 f : A → A と g : A → A の
例を挙げよ.
問題 58. 写像 f : A → B, 集合 P ⊂ A について f が単射であれば, f −1 ◦
f (P ) = P であることを示せ.
問題 59. 上で集合 Q ⊂ B に対して, f が全射であれば f ◦ f −1 (Q) = Q であ
ることを示せ.
問題 60. 上で集合 P1 , P2 ⊂ A にたいして, f が単射であれば f (P1 ∪ P2 ) =
f (P1 ) ∪ f (P2 ) であることを示せ.
問題 61. 写像 f : A → B, g : B → C にたいして, g ◦ f が全射であれば, g が
全射であることを示せ.
問題 62. 上で g ◦ f が単射であれば f が単射であることを示せ.
問題 63. 写像 f : A → B, g : B → C, h : B → C について, f が全射であり
g ◦ f = h ◦ f であれば g = h であることを示せ.
問題 64. 写像 f : A → B, g : A → B, h : B → C について, h が全射であり
h ◦ f = h ◦ g であれば f = g であることを示せ.
問題 65. 写像 f : A → B, g : B → C にたいして, g ◦ f が全射で g が単射で
あれば, f は全射であることを示せ.
問題 66. 上で, g ◦ f が単射で f が全射であれば g は単射であることを示せ.
問題 67. 写像 f : A → B, g : B → A, h : B → A について, g ◦ f と g ◦ h が
恒等写像であれば, f は全単射であり, g = h = f −1 であることを示せ.

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