幾何学演習 2014 年 11 月 27 日問題 43. （１） S n−1 は S n の部分多様体であることを示せ．（２） m < n の時，S m は S n の部分多様体であることを示せ．問題 44. M, N を C ∞ 多様体，A ⊂ N を部分多様体，f : M → N を C ∞ 写像とする． p ∈ M において • f (p) ∈ A または， • f (p) ∈ A で (df )p Tp M + Tf (p) A = Tf (p) N ならば，f は p ∈ M において A ⊂ N に横断的であると言う．全ての p ∈ M で f は A に横断的であるとき，f は A に横断的であると言う． [問] C ∞ 写像 f : M → N は部分多様体 A ⊂ N に横断的であるとき，f −1 (A) ⊂ M は部分多様体であることを示せ．問題 45. C ∞ 多様体 M の一点 p ∈ M の回りに２つの座標近傍 (U, ϕ) （座標関数は x1 , . . . , xn ），(V, ψ) （座標関数は y1 , . . . , yn ）があるとする．それぞれの定める Tx M ∂ ∂ ∂ ∂ ,..., ， ,..., ，の間に次の関係式がの基底， ∂x1 p ∂xn p ∂y1 p ∂yn p 成り立つことを示せ： ∂ ∂xi n = p j=1 ∂yj (ϕ(p)) ∂xi ∂ ∂yj f 問題 46. , i = 1, . . . , n. p g アーベル群の短完全系列 0 → A −→ B −→ C → 0 を考える． (1) 次の２つは同値であることを示せ: (a) 凖同型写像 ϕ : C → B で g ◦ ψ = idC を満たすものが存在する, (b) 凖同型写像 ψ : B → A で ψ ◦ f = idB を満たすものが存在する. (2) 上のどちらかが成り立つ時，B ∼ = A ⊕ C であることを示せ． ∼ (3) C が自由アーベル群の時，B = A ⊕ C であることを示せ．問題 47. 向き付け不可能な連結閉曲面 Fk の Z-係数のホモロジー群を求めよ．（F1 は RP2 ， F2 はクラインの壺である．） a1 a3 a1 a3 a2 問題 48. a2 マイヤー・ヴィートリス完全系列の接続準同形写像 ∆q : Hq (K1 ∪ K2 ) → Hq−1 (K1 ∩ K1 ) を定義せよ．