組紐の基本要素U

組紐の基本要素 U
n 本の紐が絡み合っている組紐を Tn とし、すべての線がまっすぐな 1n と、基本要素 U1 , U2 , ..., Un−1 ∈
Tn の組み合わせとして表現する。
Ui は n 個の始点と n 個の終点を持ち、i 番目と i + 1 番目の始点同士、i 番目と i + 1 番目の
終点同士がつながっている。
図の上部を始点、下部を終点とし、n=4 の場合の 14 と T4 の基本要素を表す。
n=4 の場合
.
.
.
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l4
U1
U2
U3
これらの要素の積を 1 番目の図形の終点と 2 番目の図形の始点とを接続することによって
接続することによって定義する。すると Ui の積に関して次の三つの性質を満たす。
1.Ui2 = dUi
2.Ui Ui ± 1 Ui = Ui
3.Ui Uj = Uj Ui (|i − j| > 1)
ここでの d は 1 本線のループの値、図では円で表されているものを指す。
Ui の積の三つの性質を T4 の場合で確かめる。
.
.
U12 = dU1
=
;
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=
.
U1 U2 U1 = U1
.
=
U1 U3 = U3 U1
積を計算するために、複数の図式を上下に接続すると、高さが異なってしまうがトポロ
ジー的な変形が許され、そもそも長さという概念がないので高さが異なってしまうことは
無視してもよい。
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