数学 IV 小テスト 1 問題 1. 次の n 次正方行列 An について問題に答えよ. (1) An の行列式を計算せよ. 01 x x BB x 1 x A =B B@ x x . . . n .. .. . . . 1 x (2) .. x x1 xC C CC xA . . . 1 A3 が逆行列をもつとき, その逆行列を求めよ. (解答例) すべての列を第１列にたすと、 An j j =j 0 1 + (n BB 1 + (n .. BB @ 1 + (n. 1)x ; 1)x ; 1)x 1 + (n ; 1)x x x x 1 .. . .. . x ; .. x1 xC C x 1 . 1 CC xA .. . j 01 x x x1 BB 1 1 x xC C . . . . B .. . . ... C = (1 + (n 1)x) B .. . . C @1 x 1 xA 1 x 1 01 x x x 1 BB 0 1 x 0 0 C . .. C . . . B .. .. .. = (1 + (n 1)x) B .. . C C @0 x 1 x 0 A ; j j ; ; j ; 0 = (1 + (n ; 1)x)(1 ; x) ; n 1 1 0 1;x j (2) 計算をして A;1 = 3 問題 2. 0 1 x2 x2 x x2 x 1 1 @ x2 x 1 x2 x2 x A 2 x) (2x + 1) 2 2 2 ; (1 ; x ; ; x x (1) 次の置換を互換の積に表せ. = (2) ; 1 2 3 4 5 6 4 5 6 1 2 3 ; ; ; x ; 1;x n 次正方行列 A = (a1 a2 : : : an) と Sn に対して, A = (a (1) a (2) : : : a (n) ) 2 と定義する. (i) (1) のに対して E6 の行列を書け . (ii) det(E6 ) を計算せよ. (解答例) (1) = (14)(25)(36) (2)(i) ei (1 i 6) を R6 の標準基底とすると, E6 = (e1 e2 e3 e4 e5 e6 ): よって E6 = (e(1) e(2) e(3) e(4) e(5) e(6) ) = (e4 e5 e6 e1 e2 e3 ) 00 BB 0 B0 =B B@ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 CC CC CA (ii) 定理 2.3(p80) より, det(E6 ) = sgn( ) det(E6 ) = ;1. 問題 3. ( おまけ ) 次の n 次正方行列 B の行列式を求めよ. 01 BB 1 BB 0 B=B BB B@ 1 1 . . . 0 1 . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . 1 1 0 0 1 を Bn とおいて , 関係式 n 次行列 B Bn j j 1 CC CC CC 0 C C 1 A 0 0 .. . . . (解答例) 0 0 . . . 1 = jBn;1 j ; jBn;2 j (n 3) に気が付けば終わり. 8 > > < > > : B1 = 1 B2 = 0 B3n = ( 1)n (n = 1 2 : : : ) B3n+1 = ( 1)n (n = 1 2 : : : ) B3n+2 = 0 (n = 1 2 : : : ) j j j j j j ; j j j j ;